Quiero encontrar la transformada de fourier de $\frac{1}{\sqrt{|x|}}$. He mirado la tabla de común fourier transforma en Wikipedia, y sé que la respuesta debería ser $$\sqrt{\frac{2\pi}{|\omega|}}$$
Lo que me puedo encontrar, sin embargo, es por qué esa es la respuesta.
He intentado $$ \hat{f}(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{|x|}} e^{-i\omega x} dx$$ $$ = \int_{0}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{x}} e^{-i\omega x} dx + \int_{0}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{x}} e^{i\omega x} dx$$
pero eso solo me da dos irresoluble integrales exponenciales.
También traté de encontrar la respuesta a través de residuos de cálculo, como la función tiene un único singularidad en 0, lo que produce
$$ \hat{f}(\omega) = 2\pi i \ Res_{z = 0} \frac{e^{-i \omega z}}{\sqrt{|z|}} = 2\pi i \lim_{z \to 0} (e^{-i \omega z}) = 2\pi i$$
¿Qué estoy haciendo mal? O estoy pensando completamente en la dirección equivocada? Gracias de antemano!
