¿Un poco de ayuda integrando este toro?

Question

Deje $\mathbf{F}\colon \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^3$ ser dada por
$$\mathbf{F}(x,y,z)=(x,y,z).$$
Evaluar $$\iint\limits_S \mathbf{F}\cdot dS$$ where $$ S es la superficie del toro dada por
$$\begin{align*} x&=(R+\cos(\phi))\cdot \cos(\theta)\\ y&=(R+\cos(\phi))\cdot \sin(\theta)\\ z&=\sin(\phi) \end{align*}$$ y$$0\leq{\theta}\leq{2\pi},\qquad 0\leq{\theta}\leq{2\pi}.$$
Suponga $S$ está orientado hacia el exterior mediante el exterior de la unidad normal.

Mi Opinión

Ok, así que sé que tengo que empezar a tomar el producto cruzado de las derivadas parciales de theta y phi, pero cuando dice que el uso de la parte exterior de la unidad de lo normal, lo que el vector tiene que ser positivo para que se la hacia fuera normal? Es el $i$, $j$ o $k$ vector? ¿Cómo puedo saber cuál es el vector que es? ¿Cuál será mi siguiente paso, después de encontrar el producto cruzado?

Answer 1

No sé si usted quiere calcular la integral de superficie de la manera difícil, que es, el cómputo de la superficie exterior normal pointwisely y luego integrar. Para mí, este problema se ve más bien como un estándar "de aplicar el teorema de la divergencia de ejercicio".

Indicar el interior del toro como $T$, e $\partial T = S$, luego por el teorema de la Divergencia: $$ \iint_S \mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} = \iiint_T \nabla \cdot \mathbf{F} \,dV = 3 |T|, $$ donde $|T|$ es el volumen de $T$. Ahora podemos calcular el volumen mediante la parametrización se dio: basado en la parametrización, si asumimos $R>1$, entonces el toro ha $R$ a medida que la distancia desde el centro del tubo hasta su centro, el radio del tubo es de 1. Así, al interior de la parametrización es: $$ \begin{aligned} &x = (R + r \cos \phi) \cos{\theta} \\ &y= (R + r \cos \phi) \sin{\theta} \\ &z= r \sin \phi \end{aligned} $$ para $(r,\phi,\theta)\in [0,1]\times[0,2\pi]\times[0,2\pi]$. Calcular el Jacobiano: $$ \left|\frac{\partial (x,y,z) }{\partial (r,\phi\theta)} \right|= r(R+R\cos\phi). $$ Por lo tanto el volumen de $|T|$ es: $$ |T| = \int^1_0 \int^{2\pi}_0 \int^{2\pi}_0 r(R+R\cos\phi) d\phi d\theta dr = 2\pi^2 R, $$ y $$ \iint_S \mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} = 6\pi^2 R. $$ Entrada de Wikipedia de Toro utiliza Vilano del centroide teorema para calcular el volumen, que es mucho más simple, pero supongo que se supone que el uso de la integral para calcular para que se nos ha dado una parametrización aquí.

Answer 2

Un problema relacionado. Puede utilizar la identidad

$$ \iint\limits_S {F}\cdot dS = \iint\limits_D {F}\cdot ({r}_\theta \times {r}_{\phi})\,{dA} = \iint\limits_D {F}\cdot ({r}_\theta \times {r}_{\phi}) {d \phi d\theta}, $$

donde

$$ r(\theta,\phi) = (R+\cos(\phi)) \cos(\theta) {i} + ( R +\cos(\phi)) \cos(\theta) {j} + \sin(\phi) {k}, $$

y puede escribir ${F}$ como

$$ {F} (x,y,z)={F}( {r}(\theta,\phi) )= (R+\cos(\phi)) \cos(\theta) {i} + ( R +\cos(\phi)) \cos(\theta) {j} + \sin(\phi) {k}.$$

Lo dejo aquí para terminar la tarea.