Hay una construcción de un "universal morfismos" en Brown y Topología de Groupoids, capítulo 8.1. Suponemos que $G$ es un groupoid, $\sigma:\text{Ob}(G)\to X$ es un conjunto de mapas. A continuación, se puede construir una groupoid $U$ cuyo objeto establecer es exactamente $X$, y una de morfismos $\barσ:G\to U$ cuya función de objeto es $σ$. La idea es similar a la construcción del producto libre de grupos. Podemos formar palabras de diferentes longitudes, donde una palabra de longitud $n$ $x$ $x'$ es una tupla
$$a=(a_n,...,a_1)$$ such that each $a_i$ is in $G(x_i,x_i')$ y
(a) $ x_i'\ne x_{i+1}$
(b) $σx_i'=σx_{i+1}$
(c) $σx_i=x,\ σx_n'=x'$
(d) no $a_i$ es la identidad
Recordar la forma en que formar una palabra en el producto libre de grupos de $G_i$. Escribimos $a_1a_2...a_n$ donde no hay elementos adyacentes se pueden multiplicar (lo que significa que provienen de distintos $G_i$), y también no $a_1$ es la identidad.
Multiplicamos dos palabras poniendo de extremo a extremo, la composición en $G$ y la cancelación de las identidades siempre que sea posible.
El resultado groupoid $U_σ(G)$ tiene como flechas $x\to x'$ palabras de longitud arbitraria, donde una palabra de longitud $0$ es utilizado como identidad. Si $x\in X\setminusσ(\text{Ob}(G))$, entonces la única palabra que empiezan o terminan en$x$$\mathbf 1_x$, la identidad.
los morfismos $\barσ:G\to U_σ(G)$ envía $a\ne \mathbf 1$ $(a)$ $a=\mathbf 1_{x_1}$%#%
Este groupoid tiene la siguiente característica universal:
Si $()_{σx_1}$ es una de morfismos cuyo objeto función de factores como $g:G\to K$, entonces no hay una única morfismos $\text{Ob}(g)=\tauσ$ tal que $g^*:U_σ(G)\to K$$g^*\barσ=g$.
Compare esto con la definición de la topología final. Si $\text{Ob}(g^*)=\tau$ es un espacio topológico, $(Y,\mathcal O_Y)$ es un conjunto, y $X$ es un mapa del juego, entonces no es una topología $s:Y\to X$$\mathcal O_X$, lo $X$ continuo. Para cada mapa continuo $s$ cuyo conjunto subyacente mapa de factores como $g:Y\to Z$, no hay un único mapa continuo $g=\tau s$ tal que $g^*:X\to Z$ $g^*s=g$ como un conjunto de mapas.
Algunos casos interesantes son al $g^*=\tau$ es un singleton y $X=\{*\}$ la función constante. En ese caso se obtiene un grupo de $σ:\text{Ob}(G)\to X$ que es universal entre todos los morfismos de $UG$ a los grupos. Este es, de hecho, una a la izquierda adjunto a la inclusión $G$.
Las declaraciones y las pruebas en que capítulo llevar a lo largo de casi pie de la letra para el caso de las categorías en lugar de groupoids, y monoids en lugar de grupos.
Volviendo a mi comentario sobre el producto libre de grupos de $\mathbf{Grp}\to\mathbf{Grpd}$, el grupo universal-functor $(G_i)_{i\in I}$ que queda adjunto a la inclusión, por lo que conserva co-productos. Ahora el subproducto de $U:\mathbf{Grpd}→\mathbf{Grp}$ $(G_i)_I$ es su distinto de la unión de $\mathbf{Grpd}$, mientras que el subproducto en $\coprod_I G_i$ es el producto libre $\mathbf{Grp}$. Entonces tenemos
$\mbox{*}_IG_i$$ Así que esto nos da la conocida descripción del producto libre de grupos. La propiedad (a), a continuación, se traduce en "letras Adyacentes de una palabra debe ser de distintos grupos". De la propiedad (b) y (c) son automáticamente satisfecho, ya que todos los objetos son identificados.
