Pregunta sobre el campo de funciones de la AEC de Silverman

Question

Justo antes de la proposición 1.7 en la página 5 de AEC (2ª ed), Silverman define $M_P$ como un ideal en el anillo de coordenadas afín.

A continuación, establece la Proposición 1.7 (la caracterización intrínseca de la suavidad): $\dim(M_P/M_P^2) = \dim(V)$ .

Su prueba es una apelación al Teorema I.5.1 de Hartshorne. Y así es como surge mi pregunta.

Hartshorne utiliza el ideal máximo en el anillo local, no un ideal máximo en el anillo de coordenadas afín y esta parece ser la forma estándar de hacerlo.

Dado que el anillo local es la localización del anillo de coordenadas afín por el ideal máximo asociado al punto, utilizando resultados como los teoremas 4.1 y 4.2 (sobre el comportamiento de los ideales con respecto a la localización) en la "Teoría de Anillos Conmutativos" de Matsumura, sospecho que uno puede hacer que todo esto funcione.

Así que para hacer preguntas concretas:

(1) ¿hay alguna razón o beneficio para definir $M_P$ como ha hecho Silverman aquí? (a diferencia de Hartshorne y otros)

(2) si es así, ¿por qué cambia a la definición "convencional" de $M_P$ en el capítulo II? (véase la anotación al principio de ese capítulo)

(3) ¿es realmente cierta la Proposición 1.7 con la definición de Silverman de $M_P$ ? Y si es así, ¿cómo se pasa del uso de las definiciones de Silverman a las de Hartshorne?

Answer 1

1. Supongo que su motivación proviene del hecho de que está discutiendo las variedades afines en esta sección, por lo que tiene sentido señalar rápidamente que $M_P$ (como lo define originalmente) es un ideal máximo del anillo de coordenadas afín. Dependiendo de la situación en la que nos encontremos, puede ser útil trabajar tanto en el anillo de coordenadas como en el anillo local, y tal vez de esta manera cubre ambos casos (aunque no con una explicación explícita de la equivalencia).
2. Pero, en general, cuando nos interesa el comportamiento local cerca de un punto concreto, primero localizamos, es decir, calculamos en el anillo local en ese punto. Es un poco desafortunado que la notación sea inconsistente aquí.
3. Sí, sigue siendo cierto. Una forma de comprobarlo es observar las estructuras naturales de espacio vectorial que tienen estos cocientes: $M_P/M_P^2$ es un $\overline K[V]/M_P$ -de dimensión finita, mientras que $(M_P\cdot\overline K[V]_P)/(M_P\cdot\overline K[V]_P)^2$ es un $\overline K[V]_P/(M_P\cdot\overline K[V]_P)$ -espacio vectorial. Pero, como la localización conmuta con los cocientes por ideales, estos dos campos son iguales (son el campo de residuos $\kappa(P)$ en $P$ ). No debería ser demasiado difícil encontrar un isomorfismo entre estos dos espacios vectoriales. Por ejemplo, dada una base para $M_P/M_P^2$ ¿se puede encontrar una base para el cociente en el anillo local?