Los volúmenes de n-bolas: ¿qué es tan especial acerca de n=5?

Question

1. El volumen de un $n$-dimensiones de la bola de radio $1$ está dado por la fórmula clásica $$V_n=\frac{\pi^{n/2}}{\Gamma(n/2+1)}.$$ Para valores pequeños de a $n$, tenemos $$V_1=2\qquad$$ $$V_2\approx 3.14$$ $$V_3\approx 4.18$$ $$V_4\approx 4.93$$ $$V_5\approx 5.26$$ $$V_6\approx 5.16$$ $$V_7\approx 4.72$$ No es difícil probar que $V_n$ adquiere su máximo valor cuando se $n=5$.

   Pregunta. Es allí cualquier no-analítica (es decir, geométrico, probabilístico, combinatoria...) la demostración de este hecho? Qué es tan especial acerca de $n=5$?

2. También tengo una pregunta similar sobre la $n$-dimensiones volumen $S_n$ ("superficie") de una unidad de $n$-esfera. ¿Por qué es el máximo de $S_n$ alcanzado en $n=7$ desde un punto de vista geométrico?

nota: la cuestión también ha sido preguntado sobre MathOverflow para los curiosos de otras respuestas.

Answer 1

Si se compara el volumen de la esfera a la de su adjuntando hiper-cubo usted encontrará que esta proporción disminuye continuamente. El adjuntando hiper-cubo es de 2 unidades de longitud por cada lado si $R=1$. Entonces tenemos:

$$V_1/2=1\qquad$$ $$V_2/4\approx 0.785$$ $$V_3/8\approx 0.5225$$ $$V_4/16\approx 0.308$$ $$V_5/32\approx 0.164$$

La razón de este comportamiento es la forma en que construimos híper-esferas de baja dimensión a las altas dimensiones. Pensar, por ejemplo, la ampliación de $S_1$$S_2$. Comenzamos con un segmento que se extiende desde $-1$ $+1$ $x$eje. Podemos construir un 2 esfera mediante el barrido de este ámbito a lo largo de la $y$ eje utilizando el factor de escala $\sqrt{1-y^2}$. Compare esto con el proceso de barrer el respectivo cubo donde el factor de escala es $1$. Así que ahora sólo nos ocupan aproximadamente el $3/4$ de la envolvente del cubo (es decir, la plaza de $n=2$). De la misma manera por $n=3$, podemos barrer el círculo a lo largo de la $z$ eje utilizando el factor de escala, perdiendo aún más volumen en comparación con el cilindro si no nos habíamos escalado el círculo como era de barrido. Así, a medida que se extienden $S_{n-1}$ conseguir $S_n$ empezamos con la disminución del volumen que tenemos y suelta incluso más de lo que barrer en la $n^{th}$ dimensión.

Sería más fácil de explicar con cifras, sin embargo, espero que usted puede trabajar a través de cómo funciona esto de dimensiones inferiores y se extiende a los más altos.

Answer 2

En algún punto, el factorial debe superar a la de la función de potencia. Esto sucede a las cinco dimensiones de la esfera, y siete de ellos por la superficie. La carrera real de lo que está implicado es entre una alternancia de $2$$\pi$,$n/2$. En $n=5$, $\frac{5}{2}>2$, pero $\frac{6}{2}<\pi$.

Que significa que los cinco dimensiones es la última dimensión que la esfera del volumen deja de aumentar en relación a la prisma-producto de la radio.

Después de 19 dimensiones, la superficie de la esfera es menor que el prisma de producto de la radio.

Answer 3

La función Gamma tiene un mínimo de cerca de $5/2 +1$ de positivos reales, y para su "cantidad adimensional" es todo lo que importa.