Localización de los ceros de una suma de exponenciales

Question

Describe la localización aproximada de los ceros de la función $$ f(z) = e^{iz}+e^{-iz}+e^z $$ fuera del círculo $|z|=R >>1$ .

Otro problema preliminar. Para el teorema de Rouche necesitamos encontrar un dominio acotado. He intentado $R<|z|<r$ y luego miramos en el semiplano izquierdo de forma que $|e^z|<1$ pero entonces no puedo aplicar la desigualdad del triángulo al otro lado.

Gracias.

Answer 1

La idea principal.

Asintóticamente, los ceros se situarán en las bisectrices perpendiculares exteriores de los lados del casco convexo de los coeficientes de los exponentes $i$ , $-i$ y $1$ . En la imagen inferior, el borde del casco convexo de estos puntos se muestra en azul y las mediatrices de sus lados en rojo.

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Algunos razonamientos heurísticos.

Para $0 < \theta \leq \pi/2$ tenemos

$$ |e^z| \leq \left|e^{|z|\, e^{i(\theta+\pi/2)}}\right| = e^{|z|\cos(\theta+\pi/2)} $$

para todos $z$ con $|\arg z| \geq \theta + \pi/2$ como puede verse en la siguiente imagen.

De ello se deduce que

$$ f(z) = 2\cos z + O\left(e^{|z|\cos(\theta+\pi/2)}\right) \tag{1} $$

como $|z| \to \infty$ con $|\arg z| \geq \theta + \pi/2$ por lo que en este sector $f(z)$ parece un coseno más algo muy pequeño asintóticamente. Entonces esperaríamos que los ceros de $f(z)$ para aproximar los ceros del coseno como $|z|$ aumenta en esta región.

Del mismo modo, puesto que

$$ f\left(w e^{\pm i\pi/4}\right) = 2 e^{w/\sqrt{2}} \cos\left(w/\sqrt{2}\right) + \exp\left(- e^{\mp i\pi/4} w\right) $$

podemos demostrar que, para $0 < \theta \leq \pi/2$ ,

$$ f\left(w e^{i\pi/4}\right) = 2 e^{w/\sqrt{2}} \cos\left(w/\sqrt{2}\right) + O\left(e^{-|w|\sin \theta}\right) \tag{2} $$

como $|w| \to \infty$ con $-\pi/4 + \theta \leq \arg w \leq 3\pi/4 - \theta$ y

$$ f\left(w e^{-i\pi/4}\right) = 2 e^{w/\sqrt{2}} \cos\left(w/\sqrt{2}\right) + O\left(e^{-|w|\sin \theta}\right) \tag{3} $$

como $|w| \to \infty$ con $-3\pi/4 + \theta \leq \arg w \leq \pi/4 - \theta$ .

En resumen, en cada uno de los sectores de anchura $\pi-2\theta$ simétrica respecto a las bisectrices perpendiculares (las líneas rojas de la primera figura), la cantidad $f(z)$ parece un coseno (quizás multiplicado por una exponencial) más algo que desaparece exponencialmente como $|z| \to \infty$ . Para $\theta$ pequeños estos sectores se solapan en realidad, por lo que cabría esperar que el sólo ceros grandes de $f(z)$ son los que se aproximan a los ceros de estos cosenos.

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Entre las bisectrices.

Demostremos que $f(z)$ no tiene ceros entre las bisectrices perpendiculares para $|z|$ lo suficientemente grande.

En primer lugar consideramos el sector $|\arg z| < \pi/4$ donde el término dominante de $f(z)$ es $e^z$ . Sea $\theta > 0$ ser pequeño y fijo. Tenemos

$$ e^{-(1-i)z} = O\left(e^{-\sqrt{2}|z|\sin\theta}\right) \quad \text{and} \quad e^{-(1+i)z} = O\left(e^{-\sqrt{2}|z|\sin\theta}\right) $$

como $|z| \to \infty$ con $|\arg z| \leq \pi/4 - \theta$ de lo que se deduce que

$$ f(z) = e^z \left(1 + e^{-(1-i)z} + e^{-(1+i)z}\right) = e^z \left[1 + O\left(e^{-\sqrt{2}|z|\sin\theta}\right)\right] $$

$|z| \to \infty$ con $|\arg z| \leq \pi/4 - \theta$ . Podemos concluir de ello que $f(z) \neq 0$ en la región $|\arg z| \leq \pi/4 - \theta$ para $|z|$ lo suficientemente grande.

Cálculos similares arrojan un resultado análogo para los dos sectores restantes.

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Localización de los ceros con el teorema de Rouché.

La función coseno tiene ceros en $z = -\pi(n+1/2)$ para $n \in \mathbb Z$ . Los que nos interesan se sitúan en el eje real negativo (correspondiente a $n \geq 0$ ).

Se puede demostrar que, para $n \in \mathbb Z$ ,

$$ |\cos z| > \frac{2}{\pi} \left|z + \pi\left(n + \frac{1}{2}\right)\right| $$

para todos $z$ satisfaciendo $\left|z + \pi\left(n + 1/2\right)\right| < \pi/2$ . Estimaremos los distintos términos de nuestra función en círculos de radio $R_n$ que rodea a cada uno de los ceros $-\pi(n+1/2)$ por lo que para utilizar este hecho supondremos que $0 < R_n < \pi/2$ .

Ahora, en el círculo $\left|z + \pi\left(n + 1/2\right)\right| = R_n$ tenemos

$$ |e^z| \leq e^{-\pi(n+1/2)+R_n} $$

y

$$ \frac{4}{\pi} R_n = \frac{4}{\pi} \left|z + \pi\left(n + \frac{1}{2}\right)\right| < |2\cos z|. $$

Para conectarlas podemos elegir $R_n$ para satisfacer

$$ e^{-\pi(n+1/2)+R_n} = \frac{4}{\pi} R_n, $$

de donde

$$ R_n = - W\left(-\frac{\pi}{2} e^{-\pi(n+1/2)}\right), $$

donde $W$ es la rama principal de la curva de Lambert $W$ función. Dado que

$$ -W(-z) = z + O(z^2) $$

como $z \to 0$ esto implica que

$$ R_n \sim \frac{\pi}{2} e^{-\pi(n+1/2)} $$

como $n\to\infty$ . Hemos cumplido los requisitos del teorema de Rouché y ahora podemos concluir que

La función $f(z)$ tiene un cero $z_n$ de la forma $$ z_n = -\pi\left(n + \frac{1}{2}\right) + O\left(e^{-\pi n}\right) $$ como $n \to \infty$ .

Un argumento similar dará como resultado

La función $f(z)$ tiene un cero $z_n$ de la forma $$ z_n = \sqrt{2} \pi e^{\pm i \pi/4} \left(n+\frac{1}{2}\right) + O\left(e^{-\sqrt{2} \pi n}\right) $$ como $n \to \infty$ .

Si lo desea, puede ir más allá eligiendo la opción $R_n$ para demostrar que cualquier otro cero, si existe, debe estar "entre" estas raíces. Entonces demuestre por el contrario que $f(z)$ es eventualmente distinto de cero en cualquier bola de radio fijo allí que se superponga con la $R_n$ bolas. De esto se puede concluir que los ceros descritos anteriormente son los únicos ceros grandes de $f(z)$ .

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Más información.

Para un resultado general para ceros de sumas finitas de la forma

$$ \sum c_k e^{\lambda_k z} $$

tal vez desee consultar la sección 2 del bonito documento Ceros de secciones de sumas exponenciales por Bleher y Mallison. He seguido el esquema básico de sus resultados al escribir esta respuesta. También dan una referencia más antigua que trata un caso ligeramente más general.