Serie central inferior de un grupo libre

Question

Considere el elemento $w=x^2yx^{-1}y^{-1}x^{-1}yxy^{-1}x^{-1}$ del grupo libre $F_2=\langle x,y\rangle$ . Considerando la imagen de este elemento bajo el mapa de abelianización (equivalentemente, sumando exponentes), sabemos que $w$ está en el subgrupo conmutador $(F_2)_2 = [F_2,F_2]$ . De hecho, puedo descomponer algorítmicamente $w$ en un producto de conmutadores. Haciendo esto, llego a $w = [x^2,y][y,x]^2$ .

Pero en realidad es aún más cierto: $w=[x,[x,y]]$ Así que, de hecho $w\in(F_2)_3 = [[F_2,F_2],F_2]$ . ¿Cómo podría haberlo determinado algorítmicamente?

En general, dado $w\in F_2$ ¿Cómo puedo determinar hasta dónde llega la serie central inferior $w$ ¿es?

Se agradecen las referencias, sobre todo las referencias en línea sobre la teoría circundante.

Answer 1

Poco después de publicar mi pregunta, encontré la respuesta estándar a mi pregunta. La incluiré aquí en beneficio de cualquier otra persona que tenga una pregunta similar. Una palabra clave de búsqueda es "conmutadores básicos", y lo siguiente se puede encontrar con todo detalle en el texto clásico de teoría de grupos de M. Hall, quien definió por primera vez los conmutadores básicos.

Aquí utilizo la convención $[x,y]=x^{-1}y^{-1}xy$ para que $xy = yx[x,y]$ .

Dejemos que $F$ ser un grupo libre, digamos en generadores $x_1,\dots,x_n$ . Supongamos que tenemos una palabra $w\in F$ y supongamos, para simplificar, que no hay ningún inverso $x_1^{-1},\dots,x_n^{-1}$ aparece como una letra en $w$ . Entonces se puede "recoger" el $x_1$ términos como sigue: Siempre que vea $yx_1$ , donde $y\in\{x_2,\dots,x_n\}$ Sustituirlo por $x_1y[y,x_1]$ . Promover los símbolos $[x_i,x_1]$ al estado de carta, y luego recoger $x_2$ términos similares. Es decir, siempre que vea $yx_2$ , donde $y\in\{x_3,\dots,x_n,[x_2,x_1],\dots,[x_n,x_1]\}$ Sustituirlo por $x_2y[y,x_2]$ . Continúa. Después de recoger $x_n$ términos, empezar a recoger $[x_2,x_1]$ términos, etc.

Este es un ejemplo, con $x=x_1$ , $y=x_2$ , $z=x_3$ . Tome $w=zyx$ . Después de recoger $x$ tenemos $w=xz[z,x]y[y,x]$ . Después de recoger $y$ , $w=xyz[z,y][z,x][[z,x],y][y,x]$ . No $z$ es necesario, así que ahora recogemos $[y,x]$ , obteniendo $$w=xyz\,[y,x]\,[z,y]\,[[z,y],[y,x]]\,[z,x]\,[[z,x],[y,x]]\,[[z,x],y]\,[[[z,x],y],[y,x]],$$ y así sucesivamente. Este proceso no tiene por qué terminar, pero ciertamente terminará en cualquier término fijo de la serie central inferior (porque finalmente todos los conmutadores son triviales).

¿Qué es un conmutador básico? Un conmutador básico es cualquier cosa que sea "promovida a letra" en el proceso anterior. Formalmente, definimos inductivamente el conjunto ordenado de conmutadores básicos como sigue. Los conmutadores básicos de peso 1 son las letras $x_1,\dots,x_n$ ordenados arbitrariamente (ignorando el hecho de que no son realmente conmutadores). Un conmutador básico de peso $n>1$ es una palabra de la forma $[a,b]$ , donde $a$ y $b$ son conmutadores básicos de peso $<n$ tal que

1. $\text{weight}(a)+\text{weight}(b)=n$ ,
2. $b<a$ ,
3. si $a=[c,d]$ entonces $d\leq b$ .

(Los puntos 2 y 3 pueden parecer extraños al principio, pero uno puede ver que cualquier conmutador que no satisfaga esas dos propiedades no aparecerá en el proceso de recogida anterior). La ordenación se define de forma arbitraria con el requisito de que todos los conmutadores básicos de peso $<n$ preceden a todos los conmutadores básicos de peso $n$ aunque la convención habitual es $[a,b]<[c,d]$ si $b<d$ o si $b=d$ y $a<c$ .

Este es el punto de todo esto:

Teorema: Sea $k$ sea un número entero positivo, y que $(F)_k$ denotan el $k$ de la serie central inferior de $F$ . Sea $a_1,\dots,a_r$ sean los conmutadores básicos de peso $<k$ en orden. Entonces cada $w\in F$ tiene una expresión única de la forma $$w = a_{1}^{n_1}\cdots a_r^{n_r} w',$$ donde $n_1,\dots,n_r\in\mathbf{Z}$ y $w'\in(F)_k$ .

Aquí hay una sorpresa: Ya no asumo que $w$ no contiene letras inversas. Resulta que la recogida es posible incluso cuando hay letras inversas.

La respuesta a mi pregunta original está ahora clara: Para encontrar la profundidad de una palabra $w$ está en la serie central inferior, recoja como se ha descrito anteriormente hasta encontrar una expresión $$w = a_{1}^{n_1}\cdots a_r^{n_r} w'$$ como en el teorema con al menos una $n_i$ no es cero. Entonces $w$ está en $(F)_{k-1}$ pero no $(F)_k$ .

Answer 2

Este cálculo se puede realizar con la función algoritmo del cociente nilpotente que puede aplicarse a cualquier grupo definido por una presentación finita. Véase http://www.mathematik.tu-darmstadt.de/~nickel/software/ . Existe una implementación de GAP, que acabo de probar con tu ejemplo, y ha funcionado bien.