Longitud de curva paramétrica $\phi(t)=(f(t)\cos(t),f(t)\sin(t))$

Question

Definir la curva de $\phi$ $\phi(t):=(f(t)\cos(t),f(t)\sin(t))$ donde $f$ ser estrictamente creciente infinitly muchos de función derivable . Encontrar una fórmula explícita para la longitud de $\phi$$\phi(a)$$\phi(b)$.

Usando la definición de la longitud de una curva, se podría reducir el problema de calcular la integral de la $$\int_a^b \sqrt{f'(x)^2 + f(x)^2} dx $$ Pero ahora sus trucos de cambio de variables y la integración por partes, no parece ser útil. Probablemente esta integral puede ser calculada de forma explícita en términos de antiderivatives.

Answer 1

De hecho, $$\int_a^b \sqrt{f'(x)^2 + f(x)^2} dx $ $ fue significado como una solución.