En realidad hay "club-muchos" $\alpha < \omega_1$ para lo cual $g[\alpha] = g^{\to} (\alpha) \subseteq \alpha$ . Aquí club aquí significa " cl osed" (el límite de toda secuencia creciente de ordinales con la propiedad también tiene la propiedad) y " u n b ounded" (con respecto al orden habitual). Desde el punto de vista de la teoría de conjuntos, se trata de una noción de "amplitud"; no sólo existen esos puntos, sino que hay muchos.
Un dato importante sobre $\omega_1$ que es útil aquí es que tiene " cofinalidad incontable ", lo que significa que cualquier subconjunto contable $A$ de $\omega_1$ está acotado: existe un $\gamma < \omega_1$ tal que $A \subseteq \gamma$ .
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En cuanto a la parte "sin límites", observe primero que para cualquier $\beta < \omega_1$ , como $g[\beta]$ es contable hay un $\gamma \geq \beta$ tal que $g[\beta] \subseteq \gamma$ . Ahora, dado cualquier $\beta_0 < \omega_1$ podemos usar esto para construir inductivamente una secuencia no decreciente $\langle \beta_n \rangle_{n \in \omega}$ de ordinales contables tales que $g[\beta_n] \subseteq \beta_{n+1}$ para todos $n$ . Dejar $\alpha = \lim_n \beta_n = \bigcup_n \beta_n$ se deduce que $$g[\alpha] = g [ {\textstyle \bigcup_n} \beta_n ] = {\textstyle \bigcup_n} g[\beta_n] \subseteq {\textstyle \bigcup_n} \beta_{n+1} = \alpha.$$ (La cofinalidad incontable de $\omega_1$ también se utiliza aquí para mostrar que $\alpha < \omega_1$ .)
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Para la parte "cerrada", tenga en cuenta que si $\langle \alpha_n \rangle_{n \in \omega}$ es una secuencia creciente de ordinales contables con esta propiedad, entonces dejando que $\alpha = \lim_n \alpha_n = \bigcup_n \alpha_n$ se deduce que $$g[\alpha] = g[ {\textstyle \bigcup_n} \alpha_n ] = {\textstyle \bigcup_n} g[\alpha_n] \subseteq {\textstyle \bigcup_n} \alpha_n = \alpha,$$ y así $\alpha$ también tiene esta propiedad.
