Quiero ver un triángulo equilátero en papel cuadriculado

Question

Quiero gráfico de un triángulo equilátero. Sería ideal si tengo un conjunto de tres puntos: $(x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3)$ $x_i, y_i \in \mathbb{Z}$ ya que los vértices. Sin embargo, esto es imposible. Estoy dispuesto a "resolver" para un triángulo que es por el ancho de un lápiz de plomo. (Es que, si nos dibujar círculos de radio $\delta$ alrededor de todo el entramado de puntos, de la verdadera ubicación de los vértices del triángulo equilátero están dentro de estas error círculos.)

Para un determinado $\delta$ ¿cuál es el más pequeño de dicho triángulo?

Mi instinto es dejar que el equipo, supongo, es que hay una forma más elegante?

Answer 1

Gran pregunta! Aquí es un límite superior: vamos a $\frac{p_n}{q_n}$ ser la secuencia de convergents para la continuación de la fracción de $\sqrt{3}$. Se sabe que $| \sqrt{3} - \frac{p_n}{q_n} | < \frac{1}{q_n q_{n+1}}$. Entonces los vértices

$$(0, 0), (2q_n, 0), (q_n, p_n)$$

están dentro de $|\sqrt{3} q_n - p_n| < \frac{1}{q_{n+1}}$ a de un triángulo equilátero. Asintóticamente creo que $q_n \sim C \cdot \sqrt{3}^n$ para algunas constantes $C$, lo que significa que para las pequeñas $\delta$ siempre podemos encontrar un triángulo con un lado de longitud algo como $\frac{2}{\delta}$.

Aquí es una manera de obtener un límite inferior: supongamos $(x_i, y_i)$ es una colección de puntos que se $\delta$-cerca de un triángulo equilátero, y supongamos que WLOG que $(x_1, y_1) = (0, 0)$. A continuación, $\frac{x_3 + iy_3}{x_2 + iy_2}$ es una aproximación racional a $\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i$, por lo tanto tomando imaginaria, $2 \frac{x_2 y_3 - x_3 y_2}{x_2^2 + y_2^2}$ es una aproximación racional a $\sqrt{3}$. Se sabe que el convergents $\frac{p_n}{q_n}$ dar los mejores aproximaciones racionales a $\sqrt{3}$ (en el sentido de que mejor debe haber mayor denominadores), así que uno debe ser capaz de escribir lo bueno que esta aproximación es, en términos de $\delta$ y la uso para dar el límite inferior de un gran $x_2^2 + y_2^2$ debe ser. Pero los detalles se ven sucios. En cualquier caso, yo estaría muy sorprendido si uno no acabar con un límite inferior de la forma $\frac{C}{\delta}$.

Answer 2

Si quieres que uno de los lados a lo largo de un eje, se puede utilizar (0,0),(2,0),y (x,y). A continuación, usted desea $sqrt(y^2+x^2)=2x$ o $y^2=3x^2$. La ecuación de Pell le ayudará a encontrar soluciones en los enteros a $y^2=3*x^2\pm1$. $x=30, y=26$ es dentro de .017 en y. Una vez que usted tiene una solución (es decir (a,b)=(1,0)), se puede obtener otro (2a+3b a+2b). Estas muy cerca de la equilátero. No sé si se puede hacer algo mejor, si no poner a un lado lo largo de un eje.