Reglas para las ecuaciones de álgebra con modulo operaciones

Question

Mientras se trabaja en una tarea servil frente a un reloj de hoy me ha distraerme por demostrar que las tres manos alinear solo dos veces al día. Que me llevan a preguntarme cómo iba a lidiar con problemas más complejos que implican módulo aritmético. Conozco a varias reglas para la reducción de ecuaciones que involucran todo tipo de operadores de simple addation arriba a través de la muy complejo triple integrales y similares. Pero, yo nunca aprendí las reglas para la manipulación de la mudulo operador.

¿Cuáles son válidos oberations que pueden ser utilizados para reducir la eautaions que involucran a múltiples modulo operadores?

Answer 1

Aquí hay algunos ejemplos que se me ocurre.

Deje $m$ ser cualquier número natural, y dejar que $a,b,c,d$ ser cualquier enteros. Entonces:

• $\equiv$ modulo $m$ es una relación de equivalencia. Es decir,
  • $a\equiv a\bmod m$.
  • Si $a\equiv b\bmod m$,$b\equiv a\bmod m$.
  • Si $a\equiv b\bmod m$$b\equiv c\bmod m$,$a\equiv c\bmod m$.
• La adición y la multiplicación son bien definidos modulo $m$. Es decir,
  • Si $a\equiv b\bmod m$$c\equiv d\bmod m$,$a+c\equiv b+d\bmod m$, e $ac\equiv bd\bmod m$.
• Si $ac\equiv bc\bmod mc$,$a\equiv b\bmod m$.
• La congruencia $ax\equiv b\bmod m$ tiene soluciones (es decir, números enteros $x$ hacer la declaración de la verdad) si y sólo si $\gcd(a,m)$ divide $b$.

Usted también tiene

• Si $p$ es un primer e $1\leq k\leq p-1$, entonces el coeficiente binomial $\mathopen{\big(}\genfrac{}{}{0pt}{1}{p}{k}\mathclose{\big)}$ satisface $\mathopen{\big(}\genfrac{}{}{0pt}{1}{p}{k}\mathclose{\big)}\equiv 0\bmod p$.
• Fermat poco teorema, y su generalización, el teorema de Euler
• Hay raíces primitivas modulo $m$ si y sólo si $m=p^k$ o $m=2p^k$ donde $p$ es un número primo impar, o si $m=2$ o $m=4$.
• El teorema de Wilson
• Teorema del resto chino
• La reciprocidad cuadrática (más avanzado)