Estoy empezando en el cálculo y tengo una pregunta sobre la siguiente afirmación que me encontré mientras aprenden acerca de las integrales definidas:
$$\sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$
Realmente no tengo idea de por qué esta afirmación es cierta. Por favor alguien puede explicar por qué esto es cierto y si es posible mostrar cómo llegar a uno de los otros?
De otra manera (por Euler, creo), a partir de la suma geométrica:
$$1 + x + x^2 + \cdots + x^n = \frac{x^{n+1}-1}{x-1}$$
Diferenciar ambos lados y multiplicando por $x$:
$$x + 2 x^2 + 3 x^3 + \cdots + n x^{n} = \frac{n x^{n+2}-(n+1) x^{n+1} +x}{(x-1)^2}$$
Diferenciar una vez más, nos metemos en la LHS
$$1 + 2^2 x + 3^2 x^2 + \cdots + n^2 x^{n-1}$$
que, evaluadas en $x=1$ da a nuestros suma $\sum_{k=1}^n k^2$. Lo que queda (sencillo, pero tedioso) es calcular la derivada en el lado derecho, y evaluar en $x \to 1$ (por ejemplo, con la regla de L'Hospital).
Debería ser evidente que este procedimiento también se puede aplicar (aunque también resulta más engorroso) por las sumas de potencias superiores.
Me gusta esta prueba visual, debido a que el Hombre-Siu Keung. Apareció en el Marzo de 1984 problema de Matemáticas de la Revista.
Ver también dos más pruebas (así como esta) en Roger Nelson Pruebas Sin Palabras: Ejercicios de Pensamiento Visual.
Se puede demostrar fácilmente por inducción.
Una forma de encontrar los coeficientes, suponiendo que ya sabemos que es un grado $3$ polinomio, es calcular la suma de $n=0,1,2,3$. Esto nos da cuatro valores de un grado $3$ polinomio, y así podemos encontrar.
La mejor manera de acercarse a ella, sin embargo, es a través de la identidad $$ \sum_{t=0}^n \binom{t}{k} = \binom{n+1}{k+1}. $$ Esta identidad es cierto ya que en el fin de elegir un $(k+1)$-subconjunto de $n+1$, primero elija un elemento $t+1$, y, a continuación, una $k$-subconjunto de $t$.
Por eso sabemos que $$ \sum_{t=0}^n A + Bt + C\binom{t}{2} = A(n+1) + B\binom{n+1}{2} + C\binom{n+1}{3}. $$ Ahora la elección de $A=0,B=1,C=2$, tenemos $$ A+Bt + C\binom{t}{2} = t^2. $$ Por lo tanto, la suma es igual a $$ \binom{n+1}{2} + 2\binom{n+1}{3}. $$
Otra prueba de(!)
Observe que $(k+1)^3 - k^3 = 3k^2 + 3k + 1$ y por lo tanto
$$(n+1)^3 = \sum_{k=0}^n \left[ (k+1)^3 - k^3\right] = 3\sum_{k=0}^n k^2 + 3\sum_{k=0}^n k + \sum_{k=0}^n 1$$
que le da
$$\begin{align} \sum_{k=1}^n k^2 & = \frac{1}{3}(n+1)^3 - \frac{1}{2}n(n+1) - \frac{1}{3}(n+1) \\ & = \frac{1}{6}(n+1) \left[ 2(n+1)^2 - 3n - 2\right] \\ & = \frac{1}{6}(n+1)(2n^2 +n) \\ & = \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1) \end{align}$$
Prueba (por inducción)
Base: Marque esta opción para n = 1 (funciona).
Inducción: Supongamos que el resultado es cierto para un valor dado de a $n$. Es decir, asumir $$ \sum_{k = 1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}. $$ Tratamos de demostrar que el resultado vale para $n+1$. $$ \begin{align*} \sum_{k = 1}^{n+1} k^2 &= \sum_{k=1}^n k^2 + (n+1)^2\\ &= \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + (n+1)^2\\ &= \frac{n(n+1)(2n+1) + 6(n+1)^2}{6}\\ &= \frac{(n+1)(n+1+1)(2(n+1)+1)}{6}. \end{align*} $$
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