Esta pregunta empezó a preocuparme después de trabajar en un ejercicio. Sé que no puede haber una biyección continua $S^1 \to (a,b)$ porque si la hubiera sería un homeomorfismo pero $S^1$ y $(a,b)$ no son homeomorfos.
Pero el teorema que implica esto es que una biyección continua de un compacto en un espacio de Hausdorff es un homeomorfismo. Por lo tanto, no se puede aplicar en la dirección opuesta.
Aún sospecho que la respuesta resultará ser negativa, es decir, no hay una biyección continua de $(a,b) \to S^1$ pero no veo cómo probarlo porque la inversa no necesita ser continua. Así que de alguna manera aún queda una ligera posibilidad para tal función.
Por favor, ¿alguien podría ayudarme a resolver mi confusión y decirme si hay o no una biyección continua $(a,b) \to S^1$?