En un Categoría Grothendieck es decir, una categoría abeliana que satisface AB 5 y admitiendo una generador $G$ , un objeto $M$ es inyectiva si y sólo si la propiedad de extensión se cumple para todos los subobjetos de $G$ (véase la obra de Grothendieck Tohoku Documento I, Lemme 1). Para la categoría de módulos sobre un anillo $R$ con $G=R$ esto produce el criterio de Baer para la inyectividad, mencionado en la pregunta.
Por dualidad, en una categoría abeliana que satisface AB 5* admitiendo un cogenerador $Q$ , un objeto $P$ es proyectiva si y sólo si la propiedad de extensión dual se cumple para todos los cocientes $Q \twoheadrightarrow Q'$ Es decir, $\hom(P,Q) \to \hom(P,Q')$ es sobreyectiva. Si esta última condición se cumple, digamos que $P$ es débilmente proyectiva (con respecto a $Q$ ).
Por desgracia, la categoría de módulos sobre un anillo $R$ no satisface el AB 5* (a menos que $R=0$ ). Además, el criterio falla para $Q=R$ (que no es un cogenerador, pero sería el análogo ingenuo del criterio de Baer), por ejemplo cuando $R$ es un EPI que no es un campo, ya que aquí cualquier cociente no trivial es de torsión y por tanto todos los módulos libres de torsión son débilmente proyectivos, y el criterio también falla para el cogenerador $Q=\hom_{\mathbb{Z}}(R,\mathbb{Q}/\mathbb{Z})$ : Si $R$ es una entidad finitamente generada $\mathbb{Z}$ -módulo, entonces $Q$ es una torsión $\mathbb{Z}$ -y de nuevo los módulos sin torsión son débilmente proyectivos. Entonces lo mismo ocurre con cada cociente de $Q$ .
Editar. En esta nueva versión he añadido la dualización correcta, incluyendo los cogeneradores.
