¿Es la hélice la única ruta con constante curvatura y torsión constante?

Question

Si un camino tiene curvatura y torsión constantes ¿por qué es necesariamente una hélice? ¿Cómo probarlo?

Answer 1

Si tanto la curvatura y la torsión son constantes, la curva es en realidad un (a la derecha) de la circular de la hélice. Usted puede, como @JyrkiLahtonen sugiere, deducir esto de el Teorema Fundamental de la Teoría de la Curva de: directos de computación, una circular de la hélice tiene curvatura constante y a la torsión y la curvatura y la torsión de las funciones de determinar la curva hacia arriba a la rigidez de movimiento (isometría de $\Bbb R^3$).

Alternativamente, con un poco de trabajo y el ingenio, en realidad se puede integrar de forma explícita las ecuaciones de Frenet \begin{align*} T'(s) &= &\kappa N(s) \\ N'(s) &= -\kappa T(s) + &&&\tau B(s) \\ B'(s) &= &-\tau N(s) \end{align*} para mostrar que $\alpha(s)$ es un derecho de la circular de la hélice. (Sugerencia: Muestre que $N''(s) = -(\kappa^2+\tau^2)N(s)$.)

Una generalización de la hélice es una curva cuyo vector tangente hace un ángulo constante con un vector fijo. Tales curvas se caracterizan por la debilidad de la condición de $\tau/\kappa = \text{constant}$.