Los valores adherentes de $x_n=cos(n)$ son el intervalo $[-1,1]$

Question

Esta pregunta parece realmente difícil, estoy tratando de demostrar que el conjunto de los valores adherentes de la secuencia $x_n=\cos (n)$ es el intervalo cerrado $[-1,1]$ es decir, cada punto de este intervalo es un límite de una sucesión de $x_n$ y también el límite de cualquier sucesión de $(x_n)$ está en $[-1,1]$

Es obvio que todos los valores adheridos están en $[-1,1]$ Tengo problemas para demostrar lo contrario, es decir, un punto en $[-1,1]$ es un valor adherente de $(x_n)$ .

Necesito ayuda

Muchas gracias

Answer 1

Una forma de hacerlo:

• El conjunto $\def\ZZ{\mathbb Z}A=\ZZ+2\pi\ZZ$ es denso en $\mathbb R$ . Esto se puede hacer imitando mi respuesta aquí

• En consecuencia, el conjunto $B=\{\exp(in):n\in\mathbb Z\}$ es denso en el círculo unitario $S^1\subseteq\mathbb C$ . De hecho, $B$ es la imagen de $A$ bajo el mapa $t\in\mathbb R\mapsto\exp(i t)\in S^1$ , que es continua suryectiva, y la imagen de un conjunto denso bajo un mapa suryectivo es densa.

• El conjunto $C=\{\cos n:n\in\mathbb N\}$ es denso en $[-1,1]$ . En efecto, la función $a+bi\in S^1\mapsto a\in[-1,1]$ es continua, suryente, y mapea el conjunto $B$ al conjunto $C$ .