La Predicción De Los Números Reales

Question

Aquí es un asombroso enigma que en un principio parece imposible de resolver. Estoy seguro de que el axioma de elección es necesaria en cualquier solución, y tengo un esquema de una posible solución, pero quisiera ver lo que otros pudieran pensar de él.

$100$ habitaciones contienen cada uno countably muchas cajas marcadas con los números naturales. Dentro de cada caja es un número real. Para cualquier número natural $n$ $100$ cajas etiquetadas $n$ (uno en cada habitación), contienen el mismo número real. En otras palabras, el $100$ habitaciones son idénticos con respecto a las cajas y los números reales.

Sabiendo las habitaciones son idénticos, $100$ matemáticos jugar a un juego. Después de un tiempo para discutir la estrategia, los matemáticos al mismo tiempo de ser enviado a los diferentes espacios, no para comunicarse el uno con el otro de nuevo. Mientras que en las habitaciones, cada matemático puede abrir cajas (tal vez countably muchos) para ver los números reales contenidos en ellos. A continuación, cada matemático debe adivinar el número real que está contenida en un determinado caja sin abrir de su elección. Aviso esto requiere que cada una de las hojas de al menos una caja sin abrir.

$99$ $100$ matemáticos deben adivinar correctamente su número real para ellos (colectivamente) ganar el juego.

¿Qué es una estrategia ganadora?

Answer 1

Antes de entrar, los matemáticos están de acuerdo en la elección de representantes para el real secuencias cuando dos de la secuencia son equivalentes si son iguales pasado algunas índice ; y re-etiquetado de $\Bbb N$ a $M \times \Bbb N$ donde $M$ es el conjunto de los matemáticos.

Una vez que un matemático $m$ está en la habitación, él se abre cada cuadro no etiquetados $(m,x)$$x \in \Bbb N$, y para $m' \neq m$ cuidadosamente las notas de la mayor índice de $x(m')$ (que es independiente de $m$), donde la secuencia de $(m',x)$ tiene un valor diferente de la de su correspondiente representante, y $x(m') = -1$ si es el representante.
A continuación, $m$ calcula el $y(m) = \max_{m' \neq m} x(m') +1$, y se abre cada casilla marcada $(m,x)$$x > y(m)$. Se encuentra con que el representante de esa secuencia, y adivina lo que hay dentro de la caja de $(m,y(m))$ de acuerdo a ese representante. Él tiene el riesgo de adivinar mal si $y(m) \le x(m)$ (él es el único que no conocer el valor de $x(m)$).

Si hay un $m$ tal que $x(m') < x(m)$ por cada $m' \neq m$, $m$ será el único matemático que puede responder erróneamente (para los demás, $y(m') > x(m) > x(m')$). Si hay varios $m$ cuyas $x(m)$ empate por mayor, a continuación, todos ellos responden correctamente.

Answer 2

Encontrar esto a través de Reddit. He aquí mi valoración crítica de la solución.

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La estrategia implica el axioma de elección, así: los matemáticos grupo de secuencias de números reales tales que dos secuencias están en el mismo grupo si y sólo si ellos están de acuerdo en todo, pero el primer par de términos. Por ejemplo, (pi,e,sqrt(2),2^(4/3),1,4,1,5,9...) y (ln(2),phi,-7.8,3,1,4,1,5,9,...) están en el mismo grupo, suponiendo que se mantenga la repetición de la final de dígitos de pi en su secuencia.

El axioma de elección es necesaria para elegir un arbitrario representante de cada grupo. Por ejemplo, puedo elegir (1.49,3,-cos(4),3,1,4,1,5,9,...) para representar el grupo que he descrito anteriormente, pero puesto que hay infinidad de grupos y sólo tengo una cantidad de tiempo corta, necesito una regla especial que me dice que puede escoger aquellos infinitamente muchos representantes. (Que es un torpe versión corta de cómo el axioma de las obras, de todos modos.)

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Muy bien, así que ahora voy a describir el plan. Digamos que yo soy matemático #1. Voy a abrir cada caja, excepto 1, 101, 201, 301, etc. Mi amigo una habitación más (matemático #2) se abre el cuadro de cada excepto 2, 102, 202, 302, etc. Y así sucesivamente.

De vuelta a mí. Yo sé lo que hay dentro de las cajas que mi amigo #2 no abrir. Vamos a suponer que los números son:

• 2 -> 1739218.33
• 102 -> sqrt(5)-sqrt(2)
• 202 -> Arctan(37.238)
• 302 -> 382
• 402 -> -832.019
• 502 -> 4
• 602 -> 1
• 702 -> 5
• 802 -> 9
• etc.

Bien, sé que el grupo que cae en. (Casualmente, es el grupo que hablamos anteriormente.) Voy a escribir una nota en la que se inició la coincidencia de la representante de la sexta casilla en adelante. Vamos a escribir esta nota, como este "x(2)=6".

Voy a repetir el proceso para #3, señalando x(3)=5, y el #4 tal vez x(4)=8, y así sucesivamente. Sé que x(m) para m=2,...,100, pero no sé x(1), ya que esas son las cajas no he abierto todavía. Me voy a tomar el mayor de los números, añadir uno, y de la llamada que y(1), es: y(1) = max(x(2) x(3),...)+1. Dio la casualidad de que x(3)=8, que es el más grande, de modo que y(1)=9.

Es finalmente tiempo para abrir la mayoría de los cuadros restantes. Voy a abrir todas las cajas en mi secuencia 1, 101, 201, etc., comenzando con la y(1)=9^(th) en la casilla. (Ya que cada x(m)>=1, y(1) tenía que ser de al menos 2, por lo que en general siempre hay algunas cajas sin abrir.) Vamos a ver lo que tengo:

• 1 -> ???
• 101 -> ???
• ...
• 701 -> ???
• 801 -> 7pi+sqrt(3)
• 901 -> 2
• 1001 -> 8
• 1101 -> 4
• etc.

Viendo los últimos dígitos, sé lo suficiente como para averiguar a qué grupo pertenece: el grupo con el representante de (e,2,7,1,8,2,8,1,8,2,8,4,6,...).

Ahora sé lo suficiente como para hacer que mi suposición. Voy a usar el representante, y elija la y(1)-1=8^(th) miembros, que es el máximo valor de la x(m)s. En este caso, la 8^th miembro pasa a ser "1", y voy a adivinar el 8^th caja sin abrir, caja #701, tiene el número "1" en el interior.

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Ahora, tengo que demostrar a usted que esta estrategia (y estrategias similares para los otros matemáticos). Está bien asumir que yo, matemático #1, estoy equivocado. Solo me falta probar que si estoy equivocado, entonces todos los demás es correcto! (99/100 no está nada mal, de acuerdo a las reglas.)

Muy bien, me siento mal, así que lo que sucedió. Bueno, obviamente, la y(1)-1^(th) término no coincide con el representante. Eso significa que $x(1)>y(1)-1$, puesto que x(1) es el primer número, donde él y todos los cuadros en mi secuencia coincide con el representante.

Con esta información, me doy cuenta de algo. $y(1)-1>=x(m)$ por cada otro número m, ya que se define para ser el más grande de x(m) plus! Así que aquí está lo que sabemos:

$x(m)<=y(1)-1<x(1)$

¡Oh hombre! Esta es una gran noticia. Todos los demás definido su propio y(m) en función de los otros x, y x(1) es el más grande de x hay. Así:

$x(m)<=y(1)-1<x(1)<x(1)+1=y(m)$

Así, para cada matemático #m, todos los cuadros de x(1) y en adelante coincidir con el representante. Cada matemático #m abre x(1)+1 en adelante, y supuso el representante de la x(1) entrada para el x(1) caja, que ha de coincidir con el representante.

Por lo tanto, si estoy equivocado, todos los demás tienen que ser, al menos. Y que gana el juego.