Separación de dos puntos con un conjunto de null

Question

Me pide lo siguiente: (escribo $\{a,b\}$ puntos en $\mathbb{R}^2$)

Que $\{0,0\},\{1,1\} \notin K \subset [0,1]^2$ tal que las proyecciones de $K$ en el $x$ y el $y$-ejes (1 dimensional) conjuntos lebesgue nula. ¿Hay una curva de $\gamma : [0,1] \longrightarrow [0,1]^2\backslash K$ tal que $\gamma(0)=\{0,0\}, \gamma(1)=\{1,1\}$ y $\ell(\gamma)\leq2$?

Mi idea era considerar una familia de curvas separadas para hacer un argumento de dimensión, pero tropezó con el conjunto de cantor y por lo tanto vio que $K$ no tiene que ser contable, incluso podría haber un ejemplo contrario?

Answer 1

Yo creo que se puede construir una curva de $\gamma$ para todos los conjuntos de $K$ por zig-zag en el eje de las líneas paralelas. Deje $\pi_x$ $\pi_y$ ser las proyecciones de $K$ a de la $x$ $y$ eje, respectivamente. Elegir un punto de partida $(x_0,y_0)$$y_0\notin\pi_y$, y elegir algunas $x_1\notin\pi_x$$x_1\le x_0/2$. Agregar el segmento de $(x_1,y_0)$ $(x_0,y_0)$a de la curva (por ejemplo, mediante la asignación de $[\frac14,\frac12]$). A continuación, recoger algunas $y_1\notin\pi_y$ $y_1\le y_0/2$ y agregar el segmento de $(x_1,y_1)$ $(x_1,y_0)$a de la curva (por ejemplo, mediante la asignación de $[\frac18,\frac14]$). La repetición de este procedimiento indefinidamente construye una curva continua $\gamma$ que puede ser ampliado continuamente a $\gamma(0)=(0,0)$, puesto que el $x_i$ $y_i$ convergen a $0$. Podemos hacer lo mismo en la otra dirección, hacia la $(1,1)$. La longitud de la curva es $2$ como se requiere.