Encuentra toda entera funciones$f$ tal que para todos los$z\in \mathbb{C}$,$|f(z)|\ge \frac{1}{|z|+1}$

Question

Encontrar todos totalidad de las funciones de $f$ tal que para todo $z\in \mathbb{C}$, $|f(z)|\ge \frac{1}{|z|+1}$

Este es uno de los últimos exámenes de calificación que yo estaba trabajando y creo que tengo que encontrar la función que participan con $f$ que es limitada y el uso de Louiville del teorema de decir que la función que se encuentra es constante y concluir algo acerca de $f$. Sólo puedo pensar en el uso de $1/f$, de modo que $\frac{1}{|f(z)|} \le |z|+1$ pero $|z|+1$ no es realmente limitada, así que me gustaría pedirle que por alguna sugerencia o idea.

Cualquier sugerencia/ idea se agradece.

Gracias de antemano.

Answer 1

Sugerencia: Como usted sugiere, se puede considerar$g = 1/f$, lo cual es en sí mismo una función entera (¿por qué?). Usar la estimación$|g(z)|\leq 1 + |z|$ y la de Cauchy estima para demostrar que$g$ es una (no nula) polinomio de grado$\leq 1$. ¿Qué se puede concluir?

Answer 2

Supongamos$f$ no es constante. Como una función no constante entera debe tener algún tipo de singularidad en el infinito. No puede ser un poste (porque entonces se tendría un cero en algún lugar, CF la prueba número de vueltas del TLC), por lo que debe ser una singularidad esencial. Entonces$zf(z)$ también tiene una singularidad esencial en el infinito. Pero$|zf(z)|\ge \frac{|z|}{|z|+1}$, que va hacia$1$, lo que contradice grande para Picard$zf(z)$.