Encontrar la matriz BA dado AB

Question

Dada una matriz $$AB = \begin{bmatrix}-2&-14&14\\5&15&-10\\4&8&-3\end{bmatrix},$$ donde $A$ es un $3\times 2$ matriz, y $B$ a $2\times 3$ matriz, ¿cómo puedo encontrar la matriz $BA$ ?

Me dijeron que encontrara la base para el espacio de filas de $AB$ y que $(AB)^2 = 5AB$ . Sin embargo, no veo cómo estas 2 informaciones pueden ayudarme a encontrar $BA$ en absoluto.

Se agradecería cualquier ayuda.

Answer 1

Utilizaré mucho los isomorfismos de las álgebras matriciales con los correspondientes espacios de operadores lineales. Así, $A\colon\Bbb R^2\to\Bbb R^3$ y $B\colon\Bbb R^3\to \Bbb R^2$ .

Si encuentra la base para el espacio de filas de $AB$ encontrará que $r(AB) = 2$ , donde $r$ denota el rango. Eso también significa que $n(AB) = 1$ por el teorema de la nulidad (donde $n$ es la dimensión del espacio nulo de $AB$ ).

Obviamente, $n(B)\leq n(AB)$ porque $\ker B\subseteq \ker (AB)$ por lo que, por el teorema de la nulidad, obtenemos que $n(B) = 1$ , $r(B) = 2$ ( $r(B)$ es como máximo $2$ Así que $n(B)$ es al menos $1$ ). Así, $B$ es el epimorfismo.

De la misma manera, $r(AB)\leq r(A)$ ya que $\operatorname{im} (AB)\subseteq \operatorname{im} A$ . Pero, $r(A)$ es como máximo $2$ por el teorema de nulidad de rango y, por lo tanto $r(A) = 2$ . Concluimos que $A$ es un monomorfismo.

Finalmente, $$5AB = (AB)^2\implies A(BA-5I)B = 0 \implies BA = 5I$$ desde $A$ es un monomorfismo y $B$ epimorfismo.

Answer 2

Tenemos que $\mbox{rank}(AB)=2$ y $$5AB=(AB)^2 \Rightarrow 0=(AB)^2-5(AB)=A(BA-5I_2)B.$$ Ahora demuestre que $BA=5I_2$ (pero ten cuidado porque $A$ y $B$ no son matrices cuadradas).