Nombre de la meta-propiedades

Question

Cómo son las propiedades como "definability" llamado (en el que las fórmulas están involucrados):

Un conjunto $X$ es definible cuando hay una fórmula $\phi(x)$ tal que $X = \lbrace x : \phi(x)\rbrace$.

No es de primer orden de la propiedad (ni siquiera el equivalente a un primer orden de la propiedad!), y no es un de segundo orden de la propiedad (pero tal vez el equivalente a un segundo orden de la propiedad?)

Se llama "propiedad semántica" o una "meta (teórico) de la propiedad"?

¿Cuál es el nombre habitual?

Un compañero de la definición de la de arriba es

Una fórmula $\phi$ es un conjunto generador cuando hay un conjunto $X$ tal que $X = \lbrace x : \phi(x)\rbrace$.

Cómo son esas propiedades (de las fórmulas) se llama?

Advertencia: soy consciente del hecho de que el tratamiento fórmulas como conjuntos de llevar a problemas cuando definability, la verdad, o de la satisfacción que viene en el juego. Así que explícitamente quieren tratar como lingüística de las entidades, distintos de los objetos que están hablando, así que no hay contradicciones que pueden surgir.

Answer 1

Yo llamaría a este tipo de propiedades "lógico". En el sentido preciso, que son definidos por referencia a las propiedades de un (formal) de la lengua en cualquier contexto.

Como se observa, una propiedad cuya definición implica cuantificar por separado sobre las fórmulas y los subconjuntos del universo no es ni de primer o de segundo orden. Clasificación en los pedidos no es muy útil aquí. La propiedad se encuentre una casa en algún lugar en el Russell-Whitehead teoría ramificada de tipos, pero que realmente no aportan mucho a su comprensión de lo que significa o cómo se comporta.

Por supuesto, en una lo suficientemente rico en el contexto de un modelo de ZFC, por ejemplo), usted puede tratar el lenguaje, y los grupos de elementos, como primero en el orden de los conceptos: esto es más o menos lo que Goedel en los teoremas de incompletitud. Así que no hay realmente ninguna necesidad de conseguir colgó sobre el orden o tipo a menos que usted está pensando filosóficamente acerca de los fundamentos de las matemáticas.

Para la real matemáticos a los efectos de llamar "definability" una lógica de la propiedad de un conjunto (de una manera que "ser un subconjunto de un producto directo del conjunto de todos los elefantes y el conjunto de todos los ángeles" que no), y de "ser un conjunto constructor" de una propiedad lógica de una fórmula (a diferencia de las "rimas"), es lo suficientemente claro.