Motivados por esta pregunta, se puede demostrar que el orden de un elemento en un grupo finito divide al orden del grupo sin el uso del teorema de Lagrange? (O, equivalentemente, que el orden del grupo es un exponente para cada elemento en el grupo?)
El más simple prueba de lo que puedo pensar de los usos del coset prueba de Lagrange del teorema en el disfraz y es como sigue: tome $a \in G$ y considerar el mapa de $f\colon G \to G$$f(x)=ax$. Considere ahora las órbitas de $f$, es decir, los conjuntos de $\mathcal{O}(x)=\{ x, f(x), f(f(x)), \dots \}$. Ahora todas las órbitas tienen el mismo número de elementos y $|\mathcal{O}(e)| = o(a)$. Por lo tanto $o(a)$ divide $|G|$.
Esta prueba tiene quizás algo de valor pedagógico en los cursos de introducción porque se puede generalizar de una manera natural a la no-cíclico de los subgrupos mediante la introducción de cosets, que conduce a la canónica de la prueba de Lagrange del teorema.
Alguien ha visto a un enfoque diferente a este resultado, que evita el uso del teorema de Lagrange? O es del teorema de Lagrange realmente la mayoría de los resultado básico en teoría de grupos finitos?
