teoremas elementales con varias pruebas?

Question

Cada año de mi estudiante de matemáticas club organiza una "prueba de maratón", donde se presentan múltiples pruebas para un único teorema. Por ejemplo, la última edición que hizo el AM-GM de la desigualdad con motivos geométricos, algebraicos, analíticos... pruebas, e incluso una "prueba", basada en las leyes de la termodinámica.

Una lista de los temas que ya hemos hecho:

• El teorema de euclides (la infinitud de los números primos)
• El teorema de Pitágoras
• La divergencia de la serie armónica
• El AM-GM de la desigualdad

Para todos estos temas, hemos sido capaces de encontrar al menos 10 pruebas con un montón de variedad.

Algunos otros temas que me estoy planteando:

• La irracionalidad de la $\sqrt{2}$
• Euler poliedros fórmula
• Fermat poco teorema de

Que otros teoremas o resultados se prestan a una prueba de maratón? Estamos buscando para un fácil-a-entender los teoremas con varios cortos y variated pruebas.

Answer 1

Varias pruebas de que el grupo$(\mathbf Z/(p))^\times$ es cíclico: http://www.math.uconn.edu/~kconrad/blurbs/grouptheory/cyclicFp.pdf .

Varias pruebas de la evaluación de la integral de Gauss de la teoría de probabilidades: http://www.math.uconn.edu/~kconrad/blurbs/analysis/gaussianintegral.pdf .

Answer 2

Problema de Basilea tiene muchas pruebas interesantes.

Diferentes métodos para calcular$\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}$

Answer 3

Creo que he visto muchas pruebas fundamentalmente diferentes del teorema fundamental del álgebra, algunos de ellos fáciles de entender. Y ahora veo que hay una pregunta sobre este math.stack aquí .

Answer 4

Incontabilidad de$\mathbb R$ (y rendición de$\mathbb Q$,$\mathbb Q^2$,$\mathbb Q(\sqrt 2)$ ...)

El hecho de que Euler característico de un objeto triangular no depende de la triangulación.

teoremas más sofisticados:

Brower teorema de punto fijo

El teorema de la invariancia del dominio (o demostrar que$\mathbb R^2$ no es homeomorfo a$\mathbb R^3$)

Permítaseme añadir también el teorema de la curva de Jordan (si se quiere una versión simplyfied uno puede restricto a las curvas poligonales)

Answer 5

¿Debería haber cualquier otra persona interesada, también he topé con dieciséis pruebas del problema isoperimétrico ( enlace ) y catorce de una generalización del teorema de embalaje de De Bruijn ( enlace ).