Me preguntaba cuál es la justificación de este paso (cambiar los índices) $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{a^{n}}{n!}\sum_{m=0}^{\infty}\frac{b^{m}}{m!}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}\sum_{n=0}^{k}\frac{k!}{n!(k-n)!}a^{n}b^{k-n}$ en el prólogo de análisis real y complejo de Rudin para mostrar $(\exp{a})( \exp{b})=\exp{(a+b)}$ ¿es el mismo principio que utiliza el teorema de fubini para las integrales, me refiero a ese que dice que si dado el dominio de integración D=AxB=ExF entonces puedo hacer algo como $\int_{D}=\int_{A}\int_{B}=\int_{E}\int_{F}$ Agradecería cualquier pista o referencia al respecto, gracias de antemano.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Martin OConnor
Puntos
116
Si dejamos que $f_n = \frac{a_n}{n!}$ y $g_m = \frac{b_m}{m!}$ , te estás preguntando por qué $$\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} f_n \sum_{m=0}^{\infty} g_m = \sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}\sum_{n=0}^{k} k! f_n g_{k-n} = \sum_{k=0}^{\infty}\sum_{n=0}^{k}f_n g_{k-n}$$
La razón es que la expresión $$\sum_{n=0}^{\infty} f_n \sum_{m=0}^{\infty} g_m $$ es sumar los siguientes números fila por fila,
$$ \begin{matrix} f_0 g_0 & f_0 g_1 & f_0 g_2 & f_0 g_3 & \cdots \\ f_1 g_0 & f_1 g_1 & f_1 g_2 & f_1 g_3 & \cdots \\ f_2 g_0 & f_2 g_1 & f_2 g_2 & f_2 g_3 & \cdots \\ f_3 g_0 & f_3 g_1 & f_3 g_2 & f_3 g_3 & \cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \end{matrix}, $$ mientras que la suma $$\sum_{k=0}^{\infty}\sum_{n=0}^{k}f_n g_{k-n}$$ es sumar los mismos números diagonal a diagonal.
Añadido : La respuesta anterior ignora intencionadamente las cuestiones de convergencia. Asume que la pregunta de la OP debe ser sobre el álgebra de por qué la igualdad es verdadera, ya que si hubiera problemas de convergencia la igualdad no se afirmaría en Rudin. Sin embargo, para aquellos preocupados por los problemas de convergencia aquí, Teorema de Merten puede aplicarse, como señala wnoise a continuación.
