¿Hay algún ejemplo que para los números cardinales$\kappa < \lambda$, tenemos$2^\kappa = 2^\lambda$?
Mi conjetura es que sólo depende de si tiene GCH. ¿Es verdad?
Respuesta
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Esto es independiente de ZFC. Es coherente que no hay ningún tipo de cardenales, por ejemplo, si GCH sostiene. Tenga en cuenta que $\lambda\leq\kappa\implies2^\lambda\leq2^\kappa$, por lo que es suficiente para demostrar que la continuidad de la función es inyectiva.
Sin embargo, no es coherente que $2^{\aleph_0}=2^{\aleph_1}=\aleph_3$.
No es mucho lo que podemos decir acerca de la continuidad de la función en ZFC. Esta es una grave consecuencia de Easton del teorema.
Easton teorema nos dice que si $F$ es una función cuyo dominio es la ordinaria de los cardenales y:
- $\kappa<\lambda\implies F(\kappa)\leq F(\lambda)$,
- $\operatorname{cf}(\kappa)<\operatorname{cf}(F(\kappa))$
Entonces hay una forzando la extensión que no se contraiga cardenales y para todos los períodos de $\kappa$, $2^\kappa=F(\kappa)$ en la extensión.
Asumir GCH tiene y asumir la función $F(\kappa)=\kappa^{++}$. Podemos mostrar que en la extensión donde se $F$ describe el continuum de la función $2^{\kappa}=\kappa^{++}$ regular de los cardenales, y $F(\mu)=\mu^+$ singulares $\mu$. Esto significa que GCH falla por todos los cardenales, sino $2^\lambda=2^\kappa\iff\lambda=\kappa$. Así que la inyectividad de la continuidad de la función se mantiene, mientras que la GCH falla.
(Si uno no está de humor para una clase-forzar, que puede ser un poco complicado, uno puede comenzar simplemente con GCH y establecer$2^{\aleph_n}=\aleph_{n+2}$$n<\omega$, y GCH sostener lo contrario en su lugar.)
