Podemos escribir el potencial electromagnético covariantly en términos de cuatro actual?

Question

En el Lorenz calibre, tenemos una hermosa relación entre los cuatro actuales y las cuatro posibles:

$$\Box A^{\alpha} = \mu_0 J^{\alpha}$$

Para obtener $A$ en términos de $J$, sin embargo, tenemos que usar una considerablemente más feo de la fórmula; o, al menos, esta es la fórmula presentada en los libros de texto:

$$A^{\alpha}(t, \mathbf{r}) = \frac{\mu_0}{4\pi} \int \frac{J^{\alpha}\left(t - \frac{1}{c}\|\mathbf{r} - \mathbf{r}'\|, \mathbf{r}' \right)}{\|\mathbf{r} - \mathbf{r}'\|} d^3\mathbf{r}'$$

La primera ecuación es evidentemente covariante Lorentz. La segunda, por otro lado, no se ve covariante. El integrando tiene algunos desordenado de la dependencia en $(t, \mathbf{r})$ y la integración va más sólo las dimensiones espaciales.

Podemos reescribir la segunda ecuación en una forma covariante? Si no, entonces ¿por qué no?

Answer 1

La integral de la expresión es de Lorentz-covariante, demasiado, y puede ser manifiestamente Lorentz-covariante, demasiado.

La integral de medida $\int d^3 r' / ||\vec r - \vec r'||$ es igual y puede ser reescrita como las cuatro dimensiones de la integral con una delta-función (y la función de paso), añadió: $$2\int {d^4 x'} \cdot \delta[(x-x')^2]\cdot \theta(t-t')$$ Se entiende que el $J$ es sustituido en el punto de $J(x')$.

Tenga en cuenta que la función de paso de $\theta$ (igual a uno de los argumentos positivos y cero en caso contrario) es de Lorentz-covariante suponiendo que los puntos de $x,x'$ no spacelike separados (porque el pedido de una causa y su efecto es el marco independiente), y que no están spacelike separados garantizados por el delta-función que es sólo la no-desaparición de cerca de/en la nula separación de $x,x'$

La función de paso garantiza que la causa precede a su efecto.

El argumento de la delta-función es un invariante de Lorentz, $(x-x')^2$, lo que significa $(x-x')^\mu(x-x')_\mu$. La convención de signos para la métrica no importa becase esta invariante es el argumento de una función par (delta-función).

Finalmente, la equivalencia de las dos integrales puede ser demostrado mediante la realización de la integral sobre la $t'$. El theta-función implica que sólo nos integrar sobre la semi-infinita de la línea de $t'\lt t$. El delta-función implica que la integral sólo es sensible en el valor de $J(t')$ donde $c|t-t'| = |r-r'|$ donde el delta-función se desvanece.

Finalmente, el delta-función también genera automáticamente el $1/|\vec r - \vec r'|$ factor de porque $$\delta(y^2) = \delta (y_0^2-|\vec y|^2) = \delta[(y_0+|\vec y|)(y_0-|\vec y|)]=\dots$$ lo que es igual, porque $\delta(kX) = \delta (X)/ |k|$, a $$\dots = \frac{\delta(y_0-|\vec y|)}{y_0+|\vec y|}=\frac{\delta(y_0-|\vec y|)}{2|\vec y'|}$$ Usted puede ver que el factor de dos, también.