Campo infinito de característica p equivalente elemental a campo con elemento trascendental sobre subcampo primer

Question

Estoy tratando de mostrar que si F es un campo infinito de la característica p, entonces es equivalente a un campo elemental F 'de Char P que contiene un elemento trascendental sobre su primer subcampo (subcampo principal es la generada por 1).

Me parece recordar que cada campo infinito de carbón p tiene un subcampo isomorfo$F_p$, pero no está seguro de cómo ir desde allí. Cualquier indicio de cómo demostrar la equivalencia primaria?

Answer 1

Hay una sencilla prueba mediante el Alza de Löwenheim–Skolem Teorema.

Deje $T$ ser la teoría, el lenguaje de los campos, cuyos axiomas son todos los enunciados verdaderos en nuestro campo $F$. A continuación, $T$ tiene modelos de arbitrariamente alta cardinalidad, ya que tiene una infinita modelo.

Cualquier innumerables modelo de $E$ $T$ debe contener objetos trascendental sobre el primer campo, porque el algebraicas cierre del primer campo es countably infinito. Esto completa la prueba.

Podemos probar un resultado más fuerte. Agregar al lenguaje de la teoría de campo de una constante símbolo para cada elemento de a $F$, y deje $T_F$ ser la teoría sobre este lenguaje cuyos axiomas son todos los enunciados verdaderos en $F$, con la interpretación natural de la nueva constantes. La teoría con los axiomas $T_F$ tiene modelos de arbitrariamente grande de cardinalidad $\kappa$. Elija $\kappa$ mayor que la cardinalidad de a $F$, y deje $E$ ser un modelo de $T_F$ de cardinalidad $\kappa$. Sin pérdida de generalidad, podemos hacer $E$ una extensión de $F$. A continuación, $E$ contiene un elemento trascendental $F$, de nuevo por la cardinalidad de consideraciones.

Por lo tanto, cualquier infinito campo de $F$ tiene primaria de la extensión que ha de objetos trascendental $F$.

Comentario: Si lo desea, podemos entonces usar la tendencia a la Baja Löwenheim–Skolem Teorema, u otras técnicas, para producir, en la primera situación, un countably infinito campo de elementarily equivalente a $F$, pero con un elemento trascendental sobre el primer campo. Y en la generalización, podemos hacer una primaria de la extensión de $E$ $F$ con un objeto trascendental $F$, de tal manera que $E$ tiene la misma cardinalidad como $F$.

Para un diferente aspecto de la prueba de los hechos mismos, utilizando básicamente la misma idea, podemos utilizar un adecuado ultrapower de $F$. Que se puede sentir más concretas para algunos.