¿Cuál es el punto de Hamiltoniana de la mecánica?

Question

Acabo de terminar de una Mecánica Clásica curso, y mirando hacia atrás en algunas cosas no están muy claras. En la primera mitad hemos cubierto el formalismo de Lagrange, que me pareció muy fresco. Especialmente, me agradeció la libertad que se tiene cuando la elección de coordenadas, y el hecho de que, básicamente, se puede ignorar la restricción de las fuerzas. Por supuesto, la mayoría simple de los casos se puede resolver mediante una buena edad $F=ma$, pero para los más complicadas todo el formalismo viene en muy práctico.

A continuación, en la segunda mitad hemos cambiado a Hamiltoniana de la mecánica, y ahí es donde empecé a perder de vista de qué estábamos haciendo las cosas de la manera en que lo fueron. Yo no tengo ningún problema de comprensión de la Hamiltoniana, o las ecuaciones de Hamilton, o el de Hamilton-Jacobi ecuación, o lo que sea. Mi problema es que no entiendo por qué iba alguien a molestar el desarrollo de todo esto para hacer las mismas cosas que hacía antes pero de una manera diferente. De hecho, en la mayoría de los casos, usted necesita comenzar con una de Lagrange y obtener el momenta de $p = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}}$, y el Hamiltoniano de $H = \sum \dot{q_i}p_i - L$. Pero si usted ya tiene el Lagrangiano, ¿por qué no acaba de resolver que el de Euler-Lagrange las ecuaciones?

Supongo que tal vez no son interesantes usos de la Hamiltion formalismo y simplemente no hacer un montón de ejemplos (que era el oscilador armónico todo el camino, bastante, mucho). También he oído que se permite una cierta transición suave a la mecánica cuántica. Hicimos el trabajo de una manera para obtener Schrödinger, ecuación de hacer cosas con la acción. Pero todavía hay algo que es no hacer clic.

Mis preguntas son las siguientes: ¿por Qué la gente usa el formalismo Hamiltoniano? Es mejor para el trabajo teórico? Hay problemas que son más fácilmente resuelto mediante Hamilton mecánica en lugar de Lagrange? ¿Cuáles son algunos ejemplos de que?

Answer 1

Hay varias razones para utilizar el formalismo Hamiltoniano:

1) la física Estadística. El nivel térmico de los estados de peso puro de los estados de acuerdo a

$$\text{Prob}(\text{state}) \propto e^{-H(\text{state})/k_BT}$$

Así que hay que entender Hamiltonianos para hacer stat mech en el real de la generalidad.

2) la belleza Geométrica. Hamilton ecuaciones decir que fluye en el tiempo es equivalente a fluir a lo largo de un campo de vectores en el espacio de fase. Esto le da un buen geométrica de la imagen de tiempo para saber como funciona la evolución en dichos sistemas. La gente utiliza este marco mucho en los sistemas dinámicos, donde se estudian preguntas como " es el tiempo de evolución caótica?'.

3) la Generalización de la física cuántica. El basic formalismo de la mecánica cuántica (estados y observables) es evidente que la generalización de la formalismo Hamiltoniano. Es menos evidente cómo se conecta el formalismo de Lagrange, y de manera menos evidente, como se ha conectado a la Newtoniana formalismo.

[Editar para responder a Javier comentario] Esto podría ser demasiado breve, pero la historia va como sigue:

En Hamiltoniana de la mecánica, observables son elementos de un álgebra conmutativa que lleva un corchete de Poisson $\{,\}$. El álgebra de las características observables ha distinguido elemento, el de Hamilton, que define el tiempo de evolución a través de $d\mathcal{O}/dt = \{H,\mathcal{O}\}$. Térmica de los estados son simplemente funciones lineales en esta álgebra. (De las variables observables son realizadas como de las funciones en el espacio de fase, y el soporte que viene de la estructura simpléctica allí. Pero el álgebra de obserbables es lo que realmente importa: Usted puede recuperar el espacio de fase de la álgebra de funciones.)

Por otro lado, en la física cuántica, tenemos un álgebra de observables que no es conmutativa. Pero todavía tiene un soporte de $\{,\} = \frac{i}{\hbar}[,]$ (el colector), y todavía consigue su evolución en el tiempo de un elemento distinguido $H$, a través de $d\mathcal{O}/dt = \{H,\mathcal{O}\}$. Asimismo, térmica de los estados siguen siendo funcionales lineales en álgebra.

Answer 2

Algunos comentarios más a añadir a la user1504 la respuesta:

1. Para un sistema con la configuración de un espacio de dimensión $n$, las ecuaciones de Hamilton son un conjunto de $2n$, junto, de primer orden las ecuaciones diferenciales ordinarias, mientras que el de Euler-Lagrange las ecuaciones son un conjunto de $n$ desacoplado, de segundo orden ecuaciones diferenciales ordinarias. En un determinado problema, podría ser más fácil de resolver que el de primer orden las ecuaciones de Hamilton (aunque, desgraciadamente, no puedo pensar en un buen ejemplo en el momento).

2. Es cierto que la mecánica cuántica se presenta generalmente en el formalismo Hamiltoniano, pero como está implícito en user1504 la respuesta, es posible utilizar una de Lagrange para cuantizar los sistemas clásicos. El Hamiltoniano enfoque es comúnmente referido como "cuantización canónica", mientras que el enfoque de Lagrange se conoce como "la ruta integral de cuantización".

Edit. Como usuario Qmechanic señala, a mi el punto 2 no es estrictamente correcto; ruta integral de cuantización también se puede realizar con el Hamiltoniano. Véase, por ejemplo, este de la física.SE post:

En la Ruta Integrales, lagrange o de hamilton son fundamentales?

Answer 3

1. Primero de todo, Lagrange es una cantidad matemática que no tiene significado físico, pero Hamilton es físico (por ejemplo, es la energía total del sistema, en algunos casos) y todas las cantidades en Hamiltoniana de la mecánica física de significados que hace más fácil tener intuición física.

2. En Hamiltoniana de la mecánica que han transformaciones canónicas que le permite cambiar las coordenadas y encontrar una forma más fácil canónica coordenadas y momentos en los que es más fácil para resolver el problema.

3. El mejor de todos es, de Lagrange es un poderoso método matemático para resolver problemas en la mecánica clásica, pero Hamilton es un potente método para resolver problemas en la mecánica clásica, la mecánica cuántica, la mecánica estadística, termodinámica, etc... en realidad casi toda la física...

Por ejemplo: En termodinámica: la energía libre de Gibbs, Helmholtz energía libre... son todas las transformaciones canónicas de Hamilton..

Answer 4

Un punto adicional que no fue enfatizado por las respuestas anteriores es suficiente que el formalismo de Hamilton le permite hacer transformaciones canónicas para pasar de la mejor manera posible sistema de coordenadas en el espacio de fase para describir el sistema. Esto es mucho mejor que en la mecánica de Lagrange, donde sólo se pueden hacer transformaciones de coordenadas en el espacio de configuración. (El espacio de fase tiene dos veces el número de dimensiones, por lo que tiene un más amplio de la libertad.) Me parece corchetes de Poisson muy útil en Hamiltoniana de la mecánica de escribir las ecuaciones de movimiento de una función arbitraria del espacio de fase variables: $\dot{Q} = \{Q, H\}$. Es posible encontrar cantidades conservadas ($\dot{Q}=0$) en Hamiltoniana de la mecánica que no son evidentes en la mecánica de Lagrange.

Ejemplos:

1. Modo Normal oscilaciones. Si el Hamiltoniano resulta ser una función cuadrática de las coordenadas y los ímpetus de un sistema de $N$ objetos, por ejemplo,$H=\sum_{ij} M_{ij} q_i q_j + \sum_{ij} M_{ij} p_i p_j$, entonces usted puede simplemente hacer una transformación canónica a lo largo de los vectores propios de a $M_{ij}$ a diagonalize $M_{ij}$, y el sistema se separa en independiente de osciladores armónicos.

2. Teoría de la perturbación. Usted puede simplemente examinar las oscilaciones en todo el estado de equilibrio mediante la ampliación de la Hamiltoniana de segundo orden en el espacio de fase variables.

3. En las dinámicas planetarias, hay una gran separación de escalas entre la interacción de los planetas con la estrella central y sus interacciones mutuas. "Secular de la teoría", describe el muy largo plazo de la evolución del sistema, utilizando Hamiltoniana de la mecánica. Se puede aplicar una transformación canónica (Von Zeipel transformación) a lo largo de la acción-ángulo de variables de corto plazo de las interacciones. Usted puede entonces deducir la evolución a largo plazo (por ejemplo, el de las excentricidades e inclinaciones), investigar si el largo plazo perturbadores efectos de los planetas agregar hasta resonante o no, si el sistema es caótico, etc.

Answer 5

La canónica (Hamilton), el formalismo, ofrece una de las principales vías para la cuantización de la gravedad. La Relatividad General se puede expresar en términos de la ADM 3+1 descomposición del espacio-tiempo:

http://en.wikipedia.org/wiki/ADM_formalism

Y Hamiltoniana del subyacen a la mecánica cuántica:

http://en.wikipedia.org/wiki/Hamiltonian_(quantum_mechanics)

Esto no sólo proporcionan un difícil vínculo entre lo contrario fundamentalmente incompatibles teorías (la teoría cuántica de campos y relatividad general), pero en el formalismo Hamiltoniano de GR es posible resolver problemas numéricamente que de otro modo es muy difícil o imposible a través de la norma Ecuaciones de Campo de Einstein.

Por cierto, el Lagrangiano (y Lagrange densidad) es la física de la relatividad general, ya que se puede derivar las Ecuaciones de Campo de Einstein directamente de la acción de Einstein-Hilbert. Esta minimización de la acción es también el fundamento de la ruta de abordaje integral a la teoría cuántica de campos:

http://en.wikipedia.org/wiki/Path_integral_formulation

Los diagramas de Feynmann tan útil en QFT se derivan directamente de este, y por supuesto la teoría de cuerdas es una de las dimensiones superiores de la generalización de la ruta de abordaje integral.

http://www.staff.science.uu.nl/~hooft101/conferencias/stringnotes.pdf