He estado trabajando en el libro Funcional de la Geometría Diferencial por Sussman y la Sabiduría y estoy teniendo problemas con un ejemplo que dan.
Podemos exponentiate una Mentira derivados $$ e^{\mathsf{t\mathcal{L}_v}}\mathsf{y} = \mathsf{y + t \mathcal{L}_v y + \frac{t^2}{2!} \mathcal{L}^2_v y + \dots } $$ que evoluciona $\mathsf{y}$ a lo largo de las curvas integrales de $\mathsf{v}$. Como un ejemplo concreto que evolucionan las coordenadas base de vectores $\frac{\partial}{\partial \mathsf{y}}$ a lo largo de $\mathsf{J}_z = x\frac{\partial}{\partial \mathsf{y}} - y\frac{\partial}{\partial \mathsf{x}}$ (en sentido antihorario campo circular o z del momento angular del generador) y dar como respuesta
$$\exp(a \mathcal{L}_{\mathsf{J}_z})\tfrac{\partial}{\partial \mathsf{y}} = -\sin(a)\tfrac{\partial}{\partial \mathsf{x}} + \cos(a)\tfrac{\partial}{\partial \mathsf{y}}.$$ Esto está de acuerdo en $a=0$ e indica que la evolución se mantiene la orientación de $\mathsf{v}$ $\mathsf{y}$ a lo largo del flujo. $\tfrac{\partial}{\partial\mathsf{y}}$ sólo gira a lo largo de $\mathsf{J}_z$.
Si trato de calcular la expansión, para el primer trimestre puedo conseguir $$ un\mathcal{L}_{x\frac{\partial}{\partial \mathsf{y}} y\frac{\partial}{\partial \mathsf{x}}}\tfrac{\partial}{\partial \mathsf{y}} = un\mathcal{L}_{- i\tfrac{\partial}{\partial \mathsf{x}}}\tfrac{\partial}{\partial \mathsf{y}} = - [y\tfrac{\partial}{\partial \mathsf{x}}, \tfrac{\partial}{\partial \mathsf{y}}] = \tfrac{\partial}{\partial \mathsf{x}} $$ el que no está de acuerdo con la expansión de la respuesta por medio de un signo, dando la rotación en la dirección opuesta.
Las nociones intuitivas de la Mentira Derivado también he decir que debe ser $a\tfrac{\partial}{\partial \mathsf{x}}$. Por ejemplo, a partir de a $x=1, y=0$ que puede viajar a lo largo de $\epsilon\mathsf{J}_z$ y, a continuación,$\epsilon \tfrac{\partial}{\partial \mathsf{y}} $, o comenzar a lo largo de $\epsilon \tfrac{\partial}{\partial \mathsf{y}} $ y, a continuación, a lo largo de $\epsilon\mathsf{J}_z$ (puntos ligeramente a la izquierda). La diferencia entre estas rutas se $\epsilon^2 \tfrac{\partial}{\partial \mathsf{x}} $. Lo mismo va para el comienzo de la en $x=0,y=1$ o si puedo hacerlo con el pushforward. Estoy tentado de decir que el libro está equivocado, y que para obtener una rotación operador que coincide con la dirección de la $\mathsf{J}_z$ debemos usar $e^{-t\mathcal{L}_{\mathsf{J}_z}}$, pero agradecería alguna confirmación.
