Simplificación de $\binom{50}{0}\binom{50}{1} + \binom{50}{1}\binom{50}{2}+⋯+\binom{50}{49}\binom{50}{50}$

Question

Hubo un post en este sitio web hace pidiendo la suma de una hora

\begin{equation*} \binom{50}{0}\binom{50}{1} + \binom{50}{1}\binom{50}{2}+⋯+\binom{50}{49}\binom{50}{50} \end{ecuación *}

expresado como un solo coeficiente binomial. (Cuatro opciones fueron proporcionados en el post). El post parece que se han eliminado. Creo que merece la pena mantener en este sitio web.

Answer 1

Solución

Para cualquier entero positivo $n$ y cualquier entero no negativo $r \leq n$,

\begin{equation*} \binom{n}{r} = \binom{n}{n - r} . \end{ecuación *} según identidad de Vandermonde\begin{align*} &\binom{50}{0}\binom{50}{1} + \binom{50}{1}\binom{50}{2}+⋯+\binom{50}{49}\binom{50}{50} \\ &\qquad = \binom{50}{0}\binom{50}{49} + \binom{50}{1}\binom{50}{48}+⋯+\binom{50}{49}\binom{50}{0} \\ &\qquad = \sum_{r=0}^{49} \binom{50}{r} \binom{50}{49-r} \\ &\qquad = \binom{100}{49} . \end{align*}

Answer 2

Hay otra prueba para este problema que estoy mencionando aquí :

Desde :

$$ \binom{50}{0}\binom{50}{1} + \binom{50}{1}\binom{50}{2}+⋯+\binom{50}{49}\binom{50}{50} \\ \qquad = \binom{50}{0}\binom{50}{49} + \binom{50}{1}\binom{50}{48}+⋯+\binom{50}{49}\binom{50}{0} \\$$

Considere que el producto :

$$(1+x)^{50} \times (1+x)^{50}$$

Buscar el coeficiente de $x^{49}$ en este producto, se calculará como :

$$ x^0 ~~\text{from first bracket} , x^{49} ~\text{from second bracket} = \binom{50}{0} \times \binom{50}{49}$$

$$ x^1 ~~\text{from first bracket} , x^{48} ~\text{from second bracket} = \binom{50}{1} \times \binom{50}{48}$$ $$ x^2 ~~\text{desde el primer soporte} , x^{47} ~\text{a partir de la segunda soporte} = \binom{50}{2} \times \binom{50}{47} \\. \\. \\. \\.$$

$$ x^{49} ~~\text{from first bracket} , x^{0} \text{from second bracket} = \binom{50}{49} \times \binom{50}{0}$$

Así, el coeficiente de $x^{49}$ en la expansión de $(1+x)^{50}(1+x)^{50} =$

$$\binom{50}{0}\binom{50}{49} + \binom{50}{1}\binom{50}{48}+⋯+\binom{50}{49}\binom{50}{0} \\$$

Cual es el coeficiente de $x^{49}$ en la expansión de $(1+x)^{100} =$

$$\binom{100}{49}$$

Por lo tanto :

$$\binom{50}{0}\binom{50}{49} + \binom{50}{1}\binom{50}{48}+⋯+\binom{50}{49}\binom{50}{0}=\binom{100}{49}$$