¿Cómo hacer sentido de ecuaciones de diferenciales de campos cuánticos?

Question

Un campo cuántico es un operador de valores de la función, es decir, una función $\varphi(x)$ definido en el espacio-tiempo que se asigna a los operadores en un espacio de Hilbert para cada evento $x$. En un enfoque más riguroso de un campo cuántico podría ser definido como un operador de valores de la distribución en el espacio-tiempo.

De todos modos, es bastante común que estos campos cuánticos obedecen a las ecuaciones diferenciales, como la de Klein-Gordon ecuación $$(\Box +m^2)\varphi=0$$ and Dirac's equation $$(i\gamma^\mu \partial_\mu - m)\psi=0.$$

En ese sentido, tenemos que entender qué es la derivada de un campo cuántico. En esto parece un poco complicado.

Por supuesto, uno puede decir: "un campo cuántico toma valores en un espacio de Hilbert así que usted puede utilizar el Frechet derivados", pero no está aún claro qué espacio de Hilbert es que la cuántica de campos tiene valores. También, como es claro a partir de la Mecánica Cuántica, la mayoría de los operadores de que nos ocupamos en QM son ilimitados y por lo tanto discontinua. Creo que esto tendría un gran impacto en cómo debemos lidiar con cosas como los derivados.

Así, con el fin de cuánticas de campos para satisfacer las ecuaciones diferenciales, cómo es la forma correcta de definir y entender la derivada de un campo cuántico? Cómo podemos hacer que el sentido del campo cuántico ecuaciones diferenciales?

Answer 1

Los campos de un QFT no son funciones de las coordenadas espaciales $\boldsymbol x\in\mathbb R^n$, pero el operador valores de las distribuciones (préstamos Wightman de la terminología). La noción de los campos en función del tiempo ("sharp-campos de tiempo") pueden ser guardados en general, pero su dependencia de la $\boldsymbol x$ es "muy singular", de modo que se conviertan de las distribuciones; los campos deben ser untado en el espacio.

Por lo tanto, se debe escribir el $\phi[f]$ en lugar de $\phi(\boldsymbol x)$, de la misma manera se debe escribir el $\delta[f]$ de la delta de Dirac. En este sentido, las relaciones de conmutación $$ [\phi(\boldsymbol x),\pi(\boldsymbol y)]=\delta(\boldsymbol x-\boldsymbol y) $$ debe ser escrito como $$ [\phi(f),\pi(g)]=(f,g) $$ para un determinado producto escalar $(\cdot,\cdot)$ en el espacio de funciones de prueba (que depende del giro de $\phi$).

Del mismo modo, las ecuaciones de campo $$ \dot\pi(\boldsymbol x)-\Delta \phi(\boldsymbol x)+m^2\phi(\boldsymbol x)=0 $$ en realidad debería ser escrito como $$ \dot\pi[f]-\phi[\Delta f]+m^2\phi[f]=0 $$

De manera más general, la ingenua ecuaciones de campo $$ \mathscr D\phi(x)=0 $$ no son sino una notación corta para $$ \phi[\mathscr Df]=0 $$ para todos los $f$ en el dominio de $\phi$. Por lo tanto, los derivados que actúan en los campos deben ser entendidos en el sentido de la distribución de derivados (si $T$ es una distribución, a continuación, definimos $T'[f]\equiv -T[f']$, etc.).

Gratis teorías, todo el marco de operador de valores de las distribuciones es perfectamente se entiende bien, y uno se puede trabajar con todo el rigor matemático se puede desear. Para la interacción de las teorías a pesar de que estamos lejos de un sentido matemáticamente la teoría.

Para más detalles véase, por ejemplo, En Relativista Irreductible de Campos Cuánticos Cumplimiento de CCR o Haag teorema de la renormalised las teorías cuánticas del campo. Además, cualquier cosa por Wightman (por ejemplo, PCT, los giros y las Estadísticas, y Todo Eso).