Cómo resolver esto de una manera eficiente (sin calculadoras)

Question

Resolver $x$, si $$(x+4)(x+7)(x+8)(x+11)+20=0.$ $

¿Hay una manera más fácil de solucionar el problema que tratar de multiplicar todos los valores juntos? He intentado multiplicando todos ellos juntos, y me sale una ecuación de cuarto grado que me resulta muy duro para decírnoslo. Espero que hay una manera más fácil de resolver esta cuestión. Cualquier ayuda es apreciada. Gracias:).

La ecuación me sale después de multiplicar $$x^4+30x^3+325x^2+1500x+2484=0,$ $ y sus raíces son $$-6, \quad -9, \quad \frac{-15\pm\sqrt{41}}2 .$ $

Answer 1

es simétrica sobre la línea $f(x) = (x+4)(x+7)(x+8)(x+11)+20\ $ $x = -7.5$

$y = x + 7.5$

$(y-3.5)(y-0.5)(y+0.5)(y+3.5)+20=0$

$(y^2 - 0.5^2)(y^2 -3.5^2)+20=0$

$y^4 - 12.5 y^2 + 23.0625 = 0$

Usar la fórmula cuadrática para resolver $y^2.$ las raíces cuadradas de que dar el $y.$ y restar el $7.5$ $x.$ a

Answer 2

Si estamos buscando entero de soluciones, podemos ver que $x + 4$, $x + 7$, $x + 8$, y $x + 11$ debe ser de cuatro números enteros cuyo producto es $-20$, y así cada uno debe ser $\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 5, \pm 10, \pm 20$. La diferencia entre el más pequeño y el más grande factor es $(x + 11) - (x + 4) = 7$, así que los dos factores debe ser $-5$ $2$ o $-2$$5$. Estos valores corresponden a las posibilidades de las $x = -9, -6$, y la sustitución de da que estos son de hecho las soluciones.

Con estos en la mano, uno puede expandir el cuarto grado en su forma estándar y dividir por el lineal de los factores de $x + 6$ $x + 9$ ahora sabemos que tiene, dejando una ecuación cuadrática a la que podemos aplicar la fórmula cuadrática para hallar el resto de las raíces.

Por supuesto, la mayoría de los cuártica polinomios son irreducibles sobre $\Bbb Q$, y para la mayoría de las ecuaciones de cuarto grado no puede ser solucionado de esta manera.

Answer 3

Reorganización de la LHS, $$(x+4)(x+11)(x+7)(x+8)+20=0$ $ para $$(x^2+15x+44)(x^2+15x+56)+20=0$ $ ahora ajuste $x^2+15x=t$ da $$(t+44)(t+56)+20=0,$ $ es decir %#% $ #%

Ahora resolver %#% $ #%

Answer 4

Sí, puede ser resuelto más fácilmente.

(1) que $u = x + {\small{\displaystyle{\frac{15}{2}}}}$.

(2) reemplazar $x$ $u - {\small{\displaystyle{\frac{15}{2}}}}$.

(3) grupo $4$ factores en parejas.

(4) ampliar los pares coincidentes.

(5) resolver $u^2$.

(6) resolver $u$.

(7) para cada solución, fijar $x = u - {\small{\displaystyle{\frac{15}{2}}}}$.