¿Por qué tienen todas las funciones elementales en un derivado de la escuela primaria?

Question

Teniendo en cuenta muchas funciones elementales con una primitiva que no es elemental, ¿por qué este tipo de cosa no sucede en el cálculo diferencial?

Answer 1

Sólo pensar en cómo encontramos a aquellos funciones elementales:

• Empezamos con la constante de funciones, que han derivado $0$, y la identidad de la función$f(x)=x$, lo que ha derivado $1$.

• Combinamos las funciones por medio de la adición, la substracción, la multiplicación, la división, la composición. Para todos los casos en que se tienen reglas explícitas para la derivada.

• Podemos definir nuevas funciones como la integral de otras funciones (por ejemplo, $\ln x$ como parte integral de la $1/x$). Obviamente, al derivar los que llegamos de nuevo a la función que hemos empezado.

• Definimos las funciones como la inversa de la otra función. De nuevo, tenemos una fórmula explícita para los derivados de funciones inversas.

Cualquier función que no puede ser definido por una cadena de tales operaciones (y también algunos que pueden, mediante la integración de la regla) no consideramos a la escuela primaria.

Así que, básicamente, la razón es en la manera de construir funciones elementales. En cierto sentido, se podría decir que es por lo que las funciones que considere la posibilidad de primaria.

De hecho, esta posición no sólo para funciones elementales; incluso la mayoría de los no-funciones elementales que utilizamos son definidos a través de estas operaciones (en particular por las integrales).

Answer 2

La respuesta corta es que tenemos la diferenciación de las reglas para todas las funciones elementales, y tenemos la diferenciación de las reglas para cada forma podemos combinar funciones elementales (suma, multiplicación, composición), donde la derivada de una combinación de dos funciones puede ser expresado mediante las funciones, sus derivados y las diferentes formas de combinación.

La integración, por otro lado, tampoco tiene un efecto directo en la regla para la multiplicación de dos funciones, ni por la composición de dos funciones. Podemos integrar las normas correspondientes para la diferenciación y conseguir algo que se ve como ella (integración por partes y sustitución), pero sólo funciona si tienes suerte con lo elemental de las funciones se combinan en qué forma.

Se podría decir que hay una esperanza de que hay reglas que hay, de la que no hemos encontrado todavía. Esto no es cierto; se ha demostrado que no son siempre las integrales de funciones elementales que no son de primaria a sí mismos (en la mayoría de las definiciones razonables de "funciones elementales"). Se trata de un profundo resultado conocido como el teorema de Liouville.

Answer 3

Podemos probar esto:

De Wikipedia, una función primaria es uno de los tipos:

1. $\exp,\log,\operatorname{id}$
2. Constante
3. La suma de dos funciones elementales.
4. El producto de dos funciones elementales.
5. La diferencia de dos funciones elementales.
6. El cociente de dos funciones elementales.
7. La composición de funciones elementales.

Demostraremos que cada caso tiene una escuela primaria de derivados.

1. $\mathrm D\exp = \exp$, que es de la categoría (1). $\mathrm D\log x = x^{-1}$, que son primarias, con $x^{-1}$ siendo de la categoría (6) -> (2) -> (1)
2. La derivada de una constante es $0$, que es elemental de la categoría (2).
3. Sigue a partir de la linealidad de la diferenciación: $\mathrm D(f+g) = \mathrm Df + \mathrm Dg$. Bajo el supuesto de que $f,g$ tiene primaria derivados, la derivada de $f+g$ es elemental.
4. Similar a (3), a través de la regla del producto.
5. (2),(3),(4)
6. Similar a (3), a través del cociente de la regla.
7. Regla de la cadena.

Ya que cada función primaria debe pertenecer a una de las categorías anteriores, se debe tener una primaria de derivados.

Answer 4

$\exp$, $\sin$, $\cos$, $\log$... son soluciones de ecuaciones diferenciales muy simples. Este hecho además de la existencia de normas explícitas para los derivados de la garantía de la suma/diferencia / / cociente/composición del producto que no funciones "nuevas" aparecerá al derivar funciones elementales.

Answer 5

Funciones elementales son combinación lineal o cociente de funciones polinómicas y exponenciales (sí, eso incluye el pecado, lechuga romana, tan). Sin duda los polinomios tiene derivado ser polinomios. Exponencial es la función más importante en el universo, y claro siempre es diferenciable y produce sólo funciones exponenciales. Todo el proceso de tomar derivado es una combinación de sobre el proceso, por lo que son sin duda elemental.