Lanza una moneda hasta que salga una cabeza. ¿Por qué es "infinitamente muchas colas" un evento que debemos tener en cuenta?

Question

Supongamos que estamos considerando el problema de lanzar una moneda hasta que los "jefes". Las secuencias H, J, TTH, TTTH, ... forman parte de la muestra el espacio que debemos considerar.

Pero, ¿qué acerca de la secuencia de TTT... (infinitamente muchas colas)? Me gustaría pensar que este "evento" debe ser excluido por definición, ya que nuestro experimento no termina hasta que los "jefes". Sin embargo, uno podría imaginar un escenario en donde los "jefes" no llega nunca.

Así que cuando debemos incluir TTT... en nuestro espacio muestral, y al hacerlo, lo que hace que la "compra" de nosotros?

Answer 1

Añadido: En esta respuesta me tome la muestra espacio para la totalidad del "espacio de Bernoulli" $\mathcal{B} = \{T,H\}^{\infty}$. Como Qiaochu Yuan señala en un comentario a mi otra respuesta, esta es una forma muy válida de ir: podemos identificar una secuencia finita $T^n H$ con el subconjunto de secuencias infinitas con el segmento inicial de la $T^n H$, y con respecto a la natural (producto) medida en $\mathcal{B}$, este evento ha probabilidad de $2^{-n-1}$, como debe ser. Esta es una de las más complicadas espacio que el espacio discreto que aparece en mi otra respuesta, pero podría decirse que es más natural: el otro espacio fue concebido para responder a un problema muy específico acerca de ensayos de Bernoulli, mientras que este espacio es el espacio de todos los ensayos de Bernoulli.

Usted podría hacer la misma pregunta acerca de cualquier elemento de su espacio muestral: "¿por Qué nos tomamos la molestia de tener $(H,T,T,H,T,H,H,H,T,\ldots)$, después de todo, sólo se produce con probabilidad cero".

En este caso, cada singleton establecer ocurre con una probabilidad de cero, pero si se los llevó a todos fuera no tendría espacio muestral!

En función de su reciente pregunta, creo que se debe empezar a aprender acerca de las medidas y contables de aditividad. Este ha sido el matemático fundamento de la teoría de la probabilidad para casi $80$ años.

Tenga en cuenta también que el espacio de Bernoulli $\mathcal{B}$ tiene una hermosa estructura-puede ser visto como $(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^{\infty}$ y por lo tanto dotado tanto de la estructura del grupo y compatible con la topología, en virtud de la cual se convierte en un compacto, totalmente desconectada abelian topológico grupo. Usted no sólo empezar a tirar de los puntos de un topológicos compactos grupo, usted? Que va a arruinar todo...

Answer 2

Anteriormente había escrito una respuesta en la que consiguió un buen número de votos. En retrospectiva, esta fue una buena respuesta, pero no a esta pregunta! (Agregado: he cambiado mi mente de nuevo después de leer Qiaochu del Yuan comentario. Disculpas por dejar dos un poco larga respuestas a la misma pregunta. Tal vez va a ser "educativo"?)

El punto aquí es que el espacio muestral aquí es mucho más sencillo que el "espacio de Bernoulli" de countably infinito $\{H,T\}$valores de las secuencias. Este espacio muestral consta de elementos $H,TH,TTH,\ldots,T^n H,\ldots$, es decir, un elemento para cada $n \in \mathbb{N}$, junto con -- tal vez -- la secuencia infinita de todas las colas.

En particular, este espacio muestral es countably infinito. Si uno está interesado sólo en countably infinita muestra de espacios, entonces no hay necesidad de llevar a cabo la medida de la teoría de las ideas: es suficiente para enumerar los elementos del espacio y asignar a cada elemento un valor no negativo real numeradas probabilidad de tal manera que la suma de todos estos números es $1$. Aquí el elemento $T^n H$, es decir, primero $n$ colas, a continuación, cabezas, se debe asignar la probabilidad de $\frac{1}{2^{n+1}}$. Si sumamos lo largo de todos estos singleton probabilidades llegamos $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{2^{n+1}} = 1$.

En particular, si queremos poner el último punto de $TTTTT\ldots$ (infinitamente muchas colas) en nuestro espacio, entonces debemos asignarle probabilidad cero. Si usted tiene una discreta de probabilidad de espacio, a continuación, es cierto que no se pierde nada por la omisión de singleton elementos de probabilidad cero, más de lo que pierdes nada por la omisión de cero términos de una serie infinita. Por otro lado usted no tiene que omitir es: es legal lo puso y asignar probabilidad cero. Aunque esto no hará ninguna diferencia matemática, yo estaría a favor de hacerlo a partir de una modelización de la perspectiva, porque después de todo, lanzar una moneda infinitamente muchas veces y de haber venido hasta colas cada vez que no es lógicamente imposible: lo que ocurre es que la probabilidad de que desea asignar a es cero.

Answer 3

En mi opinión, no nos compre nada. Deje que la variable aleatoria $X$ el número de lanzamientos hasta que el primer jefe. Si la probabilidad de una cola es otra cosa que $1$, la suma de las probabilidades de $X=n$ $n$ rangos de los números enteros positivos, es igual a $1$. Lo "infinitamente muchas colas," si estábamos interesados en ella, habría probabilidad de $0$. Ya que tiene probabilidad de $0$, y todos los otros posibles valores de $X$ tienen probabilidad distinta de cero, se puede simplemente olvidarse de esta "posibilidad".

Answer 4

El número de lanzar una moneda hasta que el primer jefe no es un bien definida la idea, porque de tan singular evento. Comparar con "el número de lanzar una moneda hasta que el último de la cabeza".

Por otro lado, se podría restringir el mismo para el conjunto de muestras en las que esta variable aleatoria $X$ es finito y, a continuación, usted podría pedir a $\mathbb{E}[X|B]$ donde $B$ es el evento "$X<\infty$". Desde $\Pr[B]=1$, podemos ignorar los condicionamientos, sin afectar el resultado.

Más formalmente, el r.v. $X$ no puede realmente alcanzar el valor de $\infty$. En su lugar, usted necesita para definir de alguna manera en las colas de la muestra. La manera exacta en que no afectará a nada, puesto que este es un cero de la probabilidad de eventos. De hecho, generalmente de r.v. sólo se definen "a medida cero" de todos modos. De manera que el valor en las colas de la muestra es "cancelado".