No hay símbolos de Christoffel cuando sólo se tiene una base local (o global), como se explica en la responder a a tu otra pregunta. De hecho, los símbolos de Christoffel no es invariable bajo el cambio de coordenadas (es decir, no es un tensor)
Si el objetivo es calcular la curvatura, entonces se puede usar directamente la base (orthonormal) $\{E_1, E_2,E_3\}$ . Lo siguiente es cierto para todos los grupos Lie equipados con una métrica bi-invariante (que incluyen todos los grupos Lie compactos).
Deje que $\{ E_1, \cdots , E_n\}$ ser una base orthonormal en $ \mathfrak g$ con respecto a una métrica $h$ . Siempre identificamos $ \mathfrak g$ con el conjunto de campos vectoriales de la izquierda y la métrica $h$ se identifica con la métrica bi-invariante en $G$ . La constante estructural se denota por $ \epsilon_ {ij}^k$ es decir.., $$ [E_i, E_j] = \epsilon_ {ij}^k E_k.$$
Desde $h$ es una métrica bi-invariante, el mapa exponencial $ \exp : \mathfrak g \to G$ es también la cartografía exponencial $T_e G \to G$ con respecto a la métrica bi-invariante $h$ (Este es el único lugar que usamos que $h$ es bi-invariante, ver aquí para una prueba).
Lema 1 : $ \nabla _XX = 0$ para todos $X \in \mathfrak g$ .
Prueba del lema 1 : Por definición de la cartografía exponencial $ \exp ( \cdot ) = e^{( \cdot )}$ Tenemos $$ e^{tX} e^{sX} = e^{(s+t)X}.$$ Si escribimos $ \gamma (t) =e^{tX}$ Entonces $$ \gamma '(t) = (e^{tX})_* X.$$ Esto implica que $ \gamma (t)$ es la curva integral de los campos vectoriales $X$ . Así $ \nabla_X X = 0$ desde $ \gamma $ es una geodésica.
Lema 2 : Tenemos $ \nabla_X Y = \frac 12 [X,Y]$ .
Prueba de Lemma 2 : Para todos $X, Y \in \mathfrak g$ de Lemma 1, $$ \begin {split} 0 &= \nabla_ {X+Y}(X+Y) \\ &= \nabla_X X + \nabla_XY + \nabla_YX + \nabla _YY \\ &= \nabla_XY + \nabla_YX \end {split}$$ Junto con la condición libre de torsión $$ \nabla_XY - \nabla _YX = [X,Y],$$ el lema está probado.
Nótese que Lemma 2 da una información mucho más refinada sobre la conexión que la dada por el La fórmula de Koszul . Ahora podemos de alguna manera calcular los "símbolos de Christoffel" de la conexión, note que desde $\{E_1, \cdots E_n\}$ forma una base de $T_gG$ para todos $g \in G$ así que en general $$ \nabla_ {E_i} E_j = T_{ij}^k(g) E_k$$ para algunas funciones globales $T_{ij}^k : G \to \mathbb R$ . Lema 2 implica que $$ T_{ij}^k = \frac 12 \epsilon_ {ij}^k$$ (En particular, $T_{ij}^k$ es una función constante).
Podemos seguir y calcar la curvatura:
Lema 3 : El tensor de curvatura de Riemann está dado por $$ R(X, Y, Z, W) = \frac 14 h([[X,Y],Z],W)$$
Prueba de Lemma 3 : Usando la identidad de Lemma 2 y Jacobi, $$ \begin {split} R(X, Y, Z, W) &:= h( - \nabla_X \nabla _Y Z + \nabla_Y \nabla _X Z + \nabla_ {[X,Y]} Z, W) \\ &= \frac 12 h(- \nabla _X [Y,Z] + \nabla_Y [X,Z] + [[X,Y],Z],W) \\ &= \frac 12 h(- \frac 12 [X,[Y,Z]] + \frac 12 [Y,[X,Z]] + [[X,Y],Z], W) \\ &= \frac 14 h([[X,Y],Z],W). \end {split}$$
Ahora podemos representar $R$ usando la constante estructural:
$$ \begin {split} R_{ijkl} &= R(E_i, E_j, E_k, E_l) \\ &= \frac 14 h([[E_i, E_j], E_k], E_l) \\ &= \frac 14 h([ \epsilon_ {ij}^m E_m, E_k], E_l) \\ &= \frac 14 h( \epsilon_ {ij}^m \epsilon_ {mk}^n E_n , E_l) \\ &= \frac 14 \epsilon_ {ij}^m \epsilon_ {mk}^l. \end {split}$$
Volviendo a tu caso $G= SO(3)$ tenemos (por comprobación caso por caso) $$ R_{1212} =R_{1313} = R_{2323} = \frac 14,$$ y otros son cero (estamos asumiendo que $i < j$ y $k <l$ ).
