Espectros lineales en el átomo de hidrógeno

Question

Supongamos que tienes una colección de grandes cantidades de átomos de Hidrógeno en $n$ el estado( $n-1$ el estado de excitación). Tienen que ir a su estado de tierra. $n$ =1).

Va desde $n_1$ a $n_2$ hace una línea espectral única. Un átomo no puede elevar su $n$ sólo puede disminuirlo. ¿Cuál es el número mínimo de $H$ átomos necesarios para ver todas las líneas espectrales? Aunque el cambio de $n$ es aleatorio, podemos asumir que somos afortunado por ejemplo, para $n=3$ :

Tenemos que ver $$3 \to 1,2 \to 1, 3 \to 2$$ El número mínimo de átomos es $2$ . Uno irá a $3 \to 2 \to 1$ y otra voluntad $3 \to 1$ .

Cuando $n=4$ ,

Tenemos que ver $4 \to 3,3 \to 2,2 \to 1,4 \to 1, 4 \to 2,3 \to 1$ El número mínimo es $4$ :

$$4 \to 1, 4 \to 3 \to 1,4 \to 2 \to 1,4 \to3\to2\to1 $$

¿Cómo podemos generalizarlo para cualquier $n$ ? Por favor, añada las etiquetas apropiadas.

Answer 1

Necesitas $n-1$ los electrones comenzando desde el nivel superior para realizar $n \to n-1, \ldots n \to 1, n \to 1$ . Después de eso tienes un electrón disponible en todos los niveles inferiores. Necesitas $n-2$ los electrones en el nivel $n-1$ pero ya tienes uno, es decir, necesitas $n-3$ "nuevos" electrones para realizar $n-1 \to n-2, \ldots n-1 \to 2,n-1 \to 1$ . Esto continúa, es decir, en total necesitamos $$(n-1)+(n-3)+(n-5)+ \ldots +(n-(2m-1)) $$ electrones donde el número $m$ de los sumandos es tal que $2m-1 \le n<2m+1$ (o $2m-1<n \le 2m+1$ no importa). La suma de los primeros $m$ Los números de impar es $m^2$ para que el recuento total sea $mn-m^2$ con $m= \lfloor n/2 \rfloor $ (o $m= \lceil n/2 \rceil $ ).

Answer 2

Considere las transiciones $a \to b$ donde $a> \frac {n}{2}$ y $b \le\frac {n}{2}$ . El número de tales transiciones es $$ \Bigl\lceil\frac {n}{2} \Bigr\rceil\Bigl\lfloor\frac {n}{2} \Bigr\rfloor\ .$$ Además, estas transiciones son mutuamente excluyentes en el sentido de que un solo electrón en descomposición sólo puede incluir como máximo una de estas transiciones, ya que si tenemos una descomposición $$a \to b \to\cdots\to a' \to b'$$ entonces $$ \frac {n}{2} \ge b \ge a'> \frac {n}{2}$$ lo cual es imposible. Así que al menos $$ \Bigl\lceil\frac {n}{2} \Bigr\rceil\Bigl\lfloor\frac {n}{2} \Bigr\rfloor $$ los átomos son necesarios. Pero considerando los casos de $n$ Even e impar por separado encontramos que esto es igual a $$(n-1)+(n-3)+(n-5)+ \cdots\ ,$$ y @Hagen von Eitzen muestra en su respuesta que este número es suficiente.

En resumen, no se puede hacer mejor, y no es necesario hacer peor, que este número de átomos.