Es $[0,1]$ una unión disjunta contable de conjuntos cerrados?

Question

¿Puede expresar $[0,1]$ como una unión disjunta contable de conjuntos cerrados, aparte de la forma trivial de hacerlo?

Answer 1

Esto es sólo una consecuencia del hecho de que un conjunto como Cantor es incontable. En nuestro caso se crea el conjunto de Cantor intersecando conjuntos compactos formados restando de [0,1] la unión de los N primeros intervalos sin sus puntos extremos. Como la intersección es incontable, contiene un punto que no es el punto final de ningún intervalo. Es decir, existe un punto en [0,1] que no pertenece a la suma de intervalos cerrados.

Answer 2

La respuesta a la pregunta planteada es no, como ya han explicado otros. Sin embargo, si relajamos la hipótesis de disjuntos a no solapados, entonces la respuesta es sí.

Dos intervalos $I_1$ y $I_2$ no se solapan si $I_1^{\circ}\cap I_2^{\circ}=\emptyset$ es decir, si su interiores son disjuntos. Si los intervalos son cerrados y no se solapan, entonces se cruzan como mucho en sus límites. Por ejemplo, en $\mathbb{R}$ los intervalos $\left[0,\frac{1}{2}\right]$ y $\left[\frac{1}{2},1\right]$ no se solapan, pero es evidente que no son disjuntos, ya que comparten el punto $\frac{1}{2}$ .

Answer 3

Una solución parcial:

Como comenzó Sargera, si tal cubierta existe, debe ser contablemente infinita. Sea $[0,1]=\displaystyle\bigcup_{n=1}^{\infty}[a_n, b_n] = \displaystyle\bigcup_{n=1}^{\infty}I_n$ Por el axioma de elección, construye $(x_n)$ por $x_n \in [a_n, b_n].$ Desde $[0,1]$ es compacto, existe $(x_{n_k})$ tal que $x_{n_k} \to x\in [0,1].$ Entonces existe un único $s\in \mathbb{N}$ tal que $x\in [a_s, b_s].$ Si este intervalo no es degenerado, entonces corresponde a $\varepsilon = \frac{1}{2}\min\{x-a_s, b_s-x\}$ existe $m \in \mathbb{N}$ tal que $|x_{n_k}-x|< \varepsilon$ para $k \geq m.$ En particular $x_{n_{m}} \in (a_s, b_s)\subset [a_s, b_s] = I_s$ y puesto que $x_{n_{m}} \in I_{n_{m}}$ por construcción, obtenemos una contradicción al hecho de que el $I_n$ son disjuntos.

Si $I_s$ es degenerado, aún no se me ha ocurrido ninguna solución. Tal vez alguien podría sugerir una.