Pregunta de poco sobre la serie armónica

Question

Quería probar todo lo que pude acerca de la tasa de divergencia de la serie armónica, sin recurrir a los libros de texto; hice esto mediante la comprobación de un poco de cómputo y usar eso como motivación para el siguiente bit. No era muy difícil de probar lo siguiente

$$ \sum_{n=1}^N \frac{1}{n} = \log N + \gamma + O\Big(\frac{1}{N}\Big). $$

Yo quería un presupuesto para el implícita constante por encima, y amplia los cálculos mostraron que para todos los $N \in \mathbb{N}$,

$$ N\bigg( \sum_{n=1}^N \frac{1}{n} - \log N - \gamma\bigg) < \frac{1}{2} \qquad\qquad\qquad (1) $$

aunque esta cantidad no convergen a $\frac{1}{2}$ desde abajo (he trazado esta secuencia hasta el $N=10^{200}$ o así). Esto sugiere que la $C=\frac{1}{2}$ es la mejor implícita constante que podemos obtener. Ahora, por Ejemplo 2.1.10 aquí parece implicar

$$ N\bigg( \sum_{n=1}^N \frac{1}{n} - \log N - \gamma\bigg) > \frac{1}{2}, \qquad\qquad\qquad (2) $$

al menos para todos los $N$ lo suficientemente grande.

Pregunta: estoy confundido - ¿por qué hay una aparente contradicción en (1) y (2)?

(Si no estás convencido por la ecuación (1) que me animo a probar como muchos de los valores de $N$ hasta que se convenció, o de lo contrario me encuentre un valor entero tal que no se sostiene.)

Answer 1

Fórmula de Euler Maclaurin muestra que $H_N = \log N + \gamma + C_1/N + \ldots + C_k/N^k + O(1/N^{k+1})$ % constantes $C_i$y específicamente, $H_N = \log N + \gamma + 1/(2N) - 1/(12N^2) + O(1/N^3)$, $N\bigg( \sum_{n=1}^N \frac{1}{n} - \log N - \gamma\bigg)$ converge a $1/2$, y es menor que $1/2$ % suficientemente grande $N$.