Problema de permutaciones

Question

estoy teniendo un poco de un problema con la resolución de un problema de permutaciones

Encuentre el número de formas en que los 4 chicos y 4 chicas puede estar sentado en una fila de 8 asientos si se sientan de forma alterna. Bien, bien.. bastante Simple, después de resolver las permutaciones de los dos casos puedo obtener 1152 permutaciones

Hay un chico llamado Miqueas y una chica llamada Loretta en el problema número 4, y que no pueden estar sentados uno al lado del otro o de lo que se lucha. ¿Cuántas permutaciones hay ahora?

Estoy completamente atascado en esto, sin ninguna idea de cómo empezar excepto para obtener el número de permutaciones donde están sentados juntos.

Cualquier ayuda se agradece (no sólo una respuesta por favor!)

Answer 1

Aviso de que si tenemos niños, ocupando cada otro asiento, hay 2 total arreglos para niños y niñas. Si puedo tomar el acuerdo en el que el primer punto es un niño, tenemos las siguientes: $${\_\_}_B \cdot {\_\_}_G \cdot {\_\_}_B \cdot {\_\_}_G \cdot {\_\_}_B \cdot {\_\_}_G \cdot {\_\_}_B \cdot {\_\_}_G$$ A partir de aquí podemos descomponer el problema en 2 casos. Caso 1: Micah se encuentra al final de la tabla $$M \cdot {\_\_}_G \cdot {\_\_}_B \cdot {\_\_}_G \cdot {\_\_}_B \cdot {\_\_}_G \cdot {\_\_}_B \cdot {\_\_}_G$$ Para los que no se $3\choose{1}$ maneras de elegir un asiento para Loretta. Caso 2: Miqueas no se sientan al final de la tabla, por ejemplo $${\_\_}_B \cdot {\_\_}_G \cdot M \cdot {\_\_}_G \cdot {\_\_}_B \cdot {\_\_}_G \cdot {\_\_}_B \cdot {\_\_}_G$$ Para los que no se $2\choose{1}$ maneras de elegir un asiento para Loretta. Ya que todo lo que queda es para permutar las 3 restantes los niños y las niñas tenemos la solución definitiva $$ 2 \cdot {3!}^2 \cdot \left[ 3 \cdot {2 \choose 1} + 1 \cdot {3 \choose 1} \right] $$

Answer 2

Sugerencia: Si conoce el número de permutaciones posible cuando los 8 niños y niñas se sientan alternativamente y sabes el número de casos posibles cuando están sentados al lado del otro (que indica que sabía) - entonces ya sabes cómo muchos casos que son cuando no están sentados al lado de uno!

Nota (# casos donde Micah se sienta al lado de Loretta) + (casos # donde Micah no sentarse al lado de Loretta) = número total de casos.

Answer 3

Una solución fácil a este problema sería:

tomar el número de permutaciones fueron los niños y las niñas sientan alternativamente (Z)

menos

el número de configuraciones fueron los dos personas se sientan al lado de uno (Y = 2(8-1))

veces

la solución al problema 4, si por el contrario tuvo 3 niños, 3 niñas y 6 asientos (X).

Z - (Y(X))

Por supuesto, esto es todo assumuning sabe cómo resolver el problema 4.

Answer 4

Aquí es un argumento probabilistico: la probabilidad de que Micah se encuentra al final de la fila es ${1\over 4}$, y en este caso la probabilidad de que Loretta se sienta junto a él también es ${1\over4}$. En el restante ${3\over 4}$ de los casos la probabilidad de Loretta sentado junto a Micah es ${1\over 2}$. Se sigue que la fracción de "casos malos" es ${1\over4}\cdot{1\over4}+{3\over4}\cdot{1\over2}={7\over 16}$, por lo tanto el número de asientos permitidos es ${9\over 16}\cdot 1152=648$.

Answer 5

Número de maneras de Micah y Loretta puede sentarse juntos: $7\times 2!$

$$ML\begin{align} f(1) &= 1 + \frac 16 f(m) \\ &= 1+\frac m6 f(1) \end-$$ $$-ML-----$$ $$--ML----$$ $$---ML---$$ $$----ML--$$ $$-----ML-$$ $$------ML$$ $$------LM$$ $$-----LM-$$ $$----LM--$$ $$---LM---$$ $$--LM----$$ $$-LM-----$$ $$LM------$$

En los guiones, 3 chicos y 3 chicas puede estar sentado en $3!\times 3!$ formas, así que por la regla del producto, el número total de maneras en que Micah y Loretta puede estar sentados juntos es $7\times 2!\times 3! \times 3!$

Lo siguiente que necesita para darse cuenta de que el número de asientos donde ML junto con el número de asientos que ML están separados, son mutuamente excluyentes y su suma es el número total de formas (i.e la primera parte). Así que usted debe conseguir:

$$4!\times 4!\times 2 -7\times 2!\times 3! \times 3! =648$$