Trazado como forma bilineal en una extensión de campo

Question

¿Alguien puede ayudar con esto?

Si $L/K$ es una extensión de campo finito, y tenemos un $K$ -forma bilineal dada por $$(x,y)\mapsto Tr_{L/K}(xy)$$ entonces la forma es no degenerada o $Tr_{L/K}(x)=0$ por cada $x\in L$ .

Hasta ahora, siento que me he encontrado con algo un poco sin sentido. Supongamos que la forma es degenerada, es decir $\exists \alpha\in L$ , $\alpha\neq 0$ tal que $(\alpha,\beta)=0$ para todos $\beta$ . Entonces, específicamente, $Tr_{L/K}(\alpha\alpha^{-1})=Tr_{L/K}(1)=0$ . Pero es un teorema de "Field and Galois Theory" de Morandi que si $\alpha\in K$ (el campo base) entonces $Tr_{L/K}(\alpha)=n\alpha$ donde $n$ es la dimensión de la extensión del campo, por lo que en este caso obtenemos que $[L:K]=0$ que no tiene ningún sentido. ¿Estoy haciendo algo mal?

Gracias.

Answer 1

Por si sirve de algo, se puede encontrar una prueba completa del siguiente hecho en $\S 6$ de estas notas .

Teorema: Para una extensión de campo de grado finito $K/F$ , los siguientes son equivalentes:
(i) La forma de trazado $(x,y) \in K^2 \mapsto \operatorname{Tr}(xy) \in F$ es una no degenerada $F$ -forma bilineal.
(ii) La forma de la traza no es idéntica a cero.
(iii) La ampliación $K/F$ es separable.

La respuesta específica a la pregunta del OP aparece allí, pero aquí está: siempre hay que tener cuidado de leer la letra pequeña cuando se trata de extensiones inseparables. En este caso, resulta que cuando $K/F$ es inseparable, el rastro de $K$ hasta $F$ de $x \in K$ sale como una potencia de $p$ (la característica de $F$ ) por la más conocida suma de conjugados de Galois. Pero en la característica $p$ multiplicar algo por una potencia de $p$ es lo mismo que multiplicarlo por cero... por lo que la traza es idéntica a cero en extensiones inseparables.

[Obsérvese también que la demostración de otra parte del teorema hace uso del Teorema del Elemento Primitivo, que actualmente se encuentra en $\S 7$ de las notas, es decir, la sección siguiente. Se trata de un error evidente que habrá que subsanar en algún momento. Hay muchos otros problemas con estas notas, que siguen siendo bastante toscas e incompletas].

Answer 2

No sé sobre la separabilidad de la extensión, pero puedo ver cómo demostrar la proposición. Tome su $\alpha$ y golpearlo con $\alpha^{-1}\beta$ y la conclusión sigue rápidamente.