Calcular la media de longitud "compuesta" posiblemente infinita

Question

Lo siento por la ambigüedad del título, no pude encontrar una buena palabra para describir mi problema.

Así que aquí está mi problema:

Usted es un jugador, y tiene un dado.

Usted tiene un número N de lanza disponible, entonces usted no puede tirar más.

Sin embargo, cada vez que usted obtiene un 6 en un lanzamiento. Usted obtener M más tiros disponibles.

Ejemplo: N = 5 M = 1

1er tiro: 1 (siendo 4 tiros)

2º tiro: 2 (siendo 3 tiros)

3er tiro: 3 (siendo 2 tiros)

4 de tiro: 6 (siendo 2 tiros)

5 de tiro: 4 (siendo 1 lanza)

6 de tiro: 6 (siendo 1 lanza)

7 de tiro: 1 (siendo 0 tiros, STOP)

Como se puede ver, es teóricamente posible obtener un número infinito de lanza. También usted puede ver por qué me dijo "compuesto", porque cada vez más la lanza, dentro de los tiros que usted puede conseguir una vez más el extra de lanza y así sucesivamente, por lo que puede ser infinito.

Ahora, ¿cómo puedo calcular el número promedio de tiros usted puede obtener basándose en las tres entradas:

Inicial lanza disponible = N

Otorgado lanza cuando el resultado es X = M

Probabilidad de obtener X en un tiro = 1/6 (en este caso de un dado)

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Una nota sin embargo:

Ya puedo solucionar esto usando Cadenas de Markov, pero quiero una respuesta usando Álgebra o algo distinto de las Cadenas de Markov (sé que existe porque alguien me mostró antes, pero no puedo recordar cómo lo hizo, debería haber tomado notas)

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Para los interesados, aquí está cómo hago usando Cadenas de Markov:

Mediante la construcción de una matriz de transición, donde el "estado" es el número de lanzamientos restantes. Por supuesto, usted puede tener un número infinito de lanza para que usted sólo debe hacer la matriz lo suficientemente grande como para proporcionar una buena aproximación.

Ahora, usted puede tener la oportunidad de parar dentro de X número de lanzamientos por parte de la comprobación de la matriz de potencia de X número de lanzamientos, fila N (estado inicial) y la columna 0 (estado final: parada). Ya podemos calcular las probabilidades de dejar de fumar dentro de X número de lanzamientos, podemos tener la oportunidad de parar exactamente después de X número de lanzamientos por el cálculo de X y X-1, a continuación, haciendo

(probabilidades de dejar de fumar dentro de los X - posibilidad de detener a un plazo de (X-1)) = Posibilidad de detener exactamente después de X lanza

Usted puede hacer esto para X = N .... El infinito

A continuación, puede sumar el producto de las dos matrices de probabilidades de detener y X el número de lanzamientos y se obtiene el promedio del número de lanzamientos que el jugador recibe antes de detenerse.

Gracias, Space Monkey.

Answer 1

Fix $m$ y deje $f(n)$ ser el tiempo de espera hasta el final del juego, comenzando con $n$ tiros.

Primero observar que $$f(a+b) = f(a) + f(b).$$

Para ver esto, jugar el juego a partir de con $a$ lanza y, a continuación, directamente después de jugar el juego a partir de con $b$ tiros. Este es el mismo como el inicio de la con $a+b$ lanzamientos, el segundo juego se inicia la primera vez que usted tiene sólo $b$ tiros restantes.

Así que podemos concluir que el $f(n) = nf(1)$.

Ahora para $n=1$ el juego termina después de $1$ si tiramos de otra cosa que de un seis. El número esperado de lanzamientos dado tiramos un seis es $1+f(m)$.

Así tenemos $$\begin{align} f(1) &= 1 + \frac 16 f(m) \\ &= 1+\frac m6 f(1) \end{align}$$

Por lo tanto, $$f(n) = \frac {6n}{6-m}.$$