Fases independientes en la teoría gauge

Question

Disculpe mi ingenuidad.

Cuando postulamos una invariancia gauge local decimos que permitimos la fase global de las variables de campo $\psi(x)$ puede cambiar y que esta fase global puede variar de un punto a otro. Podemos hacer esto dado que un cambio $\psi(x)\to e^{i\alpha (x)}\psi(x)$ va acompañada de $A_\mu \to A_\mu +\partial_\mu \alpha (x)$ .

esto parece suponer que estas fases intrascendentes están unidas de forma continua y diferenciada. ¿Cuál es la razón de esto? Si la fase local global es sólo una descripción más, ¿cuál es la razón física por la que describimos esta redundancia de esta manera?

Answer 1

Suponga que tiene una teoría gauge abeliana (olvídese de $\psi$ por ahora) en un estado gauge puro, es decir, utilizando una trasformación gauge $A_\mu\rightarrow A_\mu + \partial_\mu\alpha$ puede ir a $A_\mu = 0$ (llamémosle galga 1), es decir $A_\mu = \partial_\mu \alpha$ (llamémosle calibre 2). Ahora supongamos que $\alpha$ no es diferenciable y ver lo que sale mal.

Busquemos la densidad lagrangiana en la galga 1, es proporcional a $$ F_{\mu\nu}F^{\mu\nu} = \partial_{[\mu}A_{\nu]}\partial^{[\mu}A^{\nu]} = 0 $$

en la galga 2 $$ F_{\mu\nu}F^{\mu\nu} = \partial_{[\mu}A_{\nu]}\partial^{[\mu}A^{\nu]} =\partial_{[\mu}\partial_{\nu]}\alpha\partial^{[\mu}\partial^{\nu]} \alpha $$ Esta expresión no tiene por qué desaparecer si alfa no es diferenciable según el teorema de Schwarz. Esto significaría que una transformación gauge con un parámetro gauge no diferenciable podría cambiar realmente la energía del sistema y, por tanto, no corresponde a una redundancia en la descripción física, sino a dos estados físicos no equivalentes.

(ver http://en.wikipedia.org/wiki/Symmetry_of_second_derivatives para un ejemplo de función no diferenciable en la que el conmutador es efectivamente distinto de cero)