¿Qué axiomas de teoría determinada necesito creer en incontables números ordinales?

Question

Matemáticas personas:

El título es la pregunta. Estoy convencido de que innumerables conjuntos existen, gracias a Cantor diagonal de la prueba. No es intuitivamente claro para mí que la infinidad de los números ordinales o cardenales que debe de existir. Lo que los axiomas de la teoría de conjuntos son necesarios para aceptar su existencia? Creo que he leído aquí que el Axioma de Elección no es necesario. Me resisto a aceptar como "verdadero" cualquier teoremas que se basan en el Axioma de Elección.

EDIT: Esta pregunta puede ser un duplicado: acabo de encontrar Ninguna innumerables ordinales sin el axioma de elección? . Me disculpo si esto es así.

Answer 1

Como [1], [2], [3]y [4]se puede decir, el axioma de elección no es necesaria para definir $\omega_1$ (en particular [1] y [4]).

Dos de los principales axiomas son el poder conjunto de axiomas y la sustitución axioma esquema. En [2] y [3] se puede ver por qué el axioma de juego de poder es necesario. Es compatible con $\sf ZF$, sin poder establecer axioma de que sólo hay contable de los números ordinales. En particular, el conjunto de hereditariamente contable de conjuntos cumple que. De hecho, es muestra de que sin el poder conjunto de axiomas no podemos demostrar la existencia de innumerables conjuntos.

Pero la sustitución del esquema es también esencial. La utilizamos con el fin de asignar un cierto subconjunto de $\mathcal P(\omega\times\omega)$ sobre los números ordinales, y necesitamos la sustitución del esquema para mostrar que el resultado es un conjunto. De hecho, si tenemos en cuenta $\sf ZF$ sin el reemplazo de esquema, a continuación, $V_{\omega+\omega}$ es un modelo de estos axiomas, y sólo hay contable de los números ordinales en ese modelo. Cabe señalar que todavía puede ser bien ordenado de longitud $\omega_1$$V_{\omega+\omega}$, pero el de von Neumann ordinal, transitivo conjunto ordenado por $\in$ no existe. Es decir, es coherente que el axioma de elección se mantiene, y cada conjunto puede ser bien ordenado, pero el ordinales de von Neumann no existen más allá de la $\omega+\omega$. En dicho modelo se separan entre ordinales como pensamos hoy (von Neumann definición), y como clases de equivalencia de tipos de pedido (que son las propias de las clases, por supuesto).

Por supuesto que uno usa el axioma de la unión de todo el tiempo, así extensionality. Cabe señalar que la regularidad no es necesariamente porque siempre nos limitamos a la parte de la bien fundada conjuntos, donde se sostiene, al menos si hemos de reemplazo.

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Los Enlaces:

1. ¿Cómo sabemos que un $ \aleph_1 $ que existe en absoluto?
2. Innumerables ordinales sin poder establecer axioma
3. ¿La definición de contables ordinales requieren que el juego de poder axioma?
4. No hay incontables ordinales sin el axioma de elección?