Estoy buscando una prueba de los hechos siguientes:
Cada topológicos compactos $n$-colector $M$ tiene un continuo y no nullhomotopic mapa de $f: S^k \rightarrow M$ para algunos esfera $S^k$$1 \leq k \leq n$.
Yo vine a este, mientras que la lectura de una prueba de Lyusternik-Fet teorema de que todas las compactas de Riemann colector tiene un circuito cerrado no trivial geodésica, pero no puede probarlo, ni encontrar ninguna referencia. La instrucción es equivalente a decir que un topológicos compactos colector tiene al menos un no trivial homotopy grupo en el rango de $1,...,n=dim(M)$. La afirmación es obvia si $M$ no es simplemente conexa, así que vamos a ver lo que se puede decir al $M$ es simplemente conectado.
Si $M$ es cerrado, [conectado] y orientable, entonces la Dualidad de Poincaré se aplica, por eso $H_n (M) = \mathbb{Z}$ (singular homología con coeficientes enteros). Ahora, incluso si todos los $\pi _k$ son triviales para $1 \leq k \leq n-1$, todavía podemos concluir Hurewicz teorema de Isomorfismo que $\pi_n(M)=H_n(M)=\mathbb{Z}$, y así hemos terminado.
Sin embargo necesito el caso más general de $M$ compacto, independientemente de orientability, y no entiendo cómo/por qué simplemente la conexión + compacidad juntos implica la existencia de un ser no trivial mapa de algunos de los más altos de la esfera.
