Problema de construcción de la geometría

Question

Dados dos círculos $S_1$ et $S_2$ , una línea $l_1$ y una longitud $a$ que sea menor que la suma de los diámetros de los círculos, construye una línea $l$ , en paralelo a $l_1$ para que la suma de las cuerdas que $S_1$ et $S_2$ cortada de $l$ es $a$ . (Puede suponer que los interiores de los círculos $S_1$ et $S_2$ son disjuntos, y que los círculos están colocados de manera que al menos una de esas líneas $l$ existe).

Intenté trabajar hacia atrás, y traducir los círculos de tal manera que conectaran las dos cuerdas, pero no obtuve nada útil de eso. ¿Me pueden dar una pequeña pista de cómo empezar/proceder desde mi posición actual? Gracias.

Answer 1

Déjame ver si puedo construir la línea requerida geométricamente.

(a) dibujar líneas $s_1, s_2$ ortogonal a la línea $l_1$ a través de los centros $O_1, O_2$ de $S_1$ et $S_2$ respectivamente. $d$ sea la distancia entre las líneas paralelas construidas.

(b) construir la longitud $d- {1\over 2} a$ (añadido posteriormente: es el hueco entre los dos círculos en la dirección de $l_1$ necesario).

(c) construir un punto $O$ para que $O$ está entre líneas $s_1, s_2$ et $O_1O = d - {1 \over 2}a$

(d) dibujar un círculo $S$ centrado en $O$ y con el mismo radio que $S_1.$

(e) encontrar los puntos donde $S$ et $S_2$ se cruzan.

(f) trazar líneas que pasen por los puntos hallados en e) paralelas a la línea $l_1$ .

la línea/s en (f) es la respuesta a su problema.

AÑADIDO POR RORY DAULTON:

Aquí hay un gráfico para entender mejor la construcción. Punto $A$ y el círculo punteado no se mencionan en la descripción de Abel: se utilizan para encontrar el punto $O$ .

Answer 2

NOTA: Este post ha sido editado debido a que @RicardoCruz detectó un error. También he cambiado la variable deseada de $z$ a $u$ Por mis propias razones.

Este es un enfoque que lleva a una construcción no tan fácil pero posible.

Rota tus círculos y tu línea en un marco de referencia cartesiano para que la línea $l$ es horizontal y se traduce así el círculo $S_1$ está centrado en el origen con radio $s$ . Su ecuación es entonces $x^2+y^2=s^2$ . Digamos entonces que ese círculo $S_2$ está centrado en el punto $(c,d)$ y tiene un radio $r$ . (Se podrían hacer reflexiones para que ambos $c$ et $d$ no negativo). Digamos finalmente que la línea deseada $l_1$ tiene la ecuación $y=u$ . Dado $a$ , $c$ , $d$ , $r$ y $s$ queremos encontrar $u$ por lo que la suma de las cuerdas de la línea $l$ con círculos $S_1$ et $S_2$ es $a$ .

Podemos encontrar fácilmente que la longitud de la cuerda en $S_1$ es $2\sqrt{s^2-u^2}$ y la longitud de la cuerda en $S_2$ es $2\sqrt{r^2-(d-u)^2}$ . Por lo tanto, la ecuación que queremos resolver para $u$ es

$$a=2\sqrt{s^2-u^2}+2\sqrt{r^2-(d-u)^2}$$

La eliminación de la segunda raíz cuadrada obteniéndola sola y elevando al cuadrado conduce a

$$\left(\frac{a^2}4+d^2+s^2-r^2 \right)-2du=a\sqrt{s^2-u^2}$$

Me da pereza continuar, pero elevando al cuadrado esta ecuación se obtiene una ecuación cuadrática en $u$ . La solución (o las soluciones: ¡pueden ser dos válidas!) puede construirse con compás y regla, que pueden utilizarse fácilmente para construir la línea $l_1$ . Construir la(s) solución(es) para $u$ parece complicado, pero puede haber algunos trucos para hacerlo más fácil.