Para un grupo de 7 personas, encuentre la probabilidad de que todos sus cumpleaños no ocurran en invierno utilizando el método de conteo de estrellas y barras

Question

Entonces, para un grupo de 7 personas, encuentra la probabilidad de que todos sus cumpleaños no ocurran en invierno. Es decir, que todos los cumpleaños ocurran en primavera, verano u otoño. Supongamos que la probabilidad de nacer en cada estación es igual de probable.

Así que la respuesta a esta es bastante simple, ya que es sólo $\frac{3}{4}^7=0.133$ . Sin embargo, pensé en probarlo con un método diferente. Lo hice utilizando el estrellas y barras método de recuento.

Conté cuántas formas hay de ordenar a 7 personas en 3 estaciones y también cuántas formas hay de ordenar a 7 personas en 4 estaciones.

Es decir. $$P(no\; birthdays\; in\; the\; winter) = \frac{\binom{7+3-1}{3}}{\binom{7+4-1}{4}}=0.4$$

¿Por qué no se le da la misma respuesta?

Answer 1

Hay $3^7$ formas de asignar $3$ estaciones a $7$ personas. $\binom{7+3-1}{3}$ cuenta los multisubconjuntos, lo que supone que las personas no se pueden distinguir, y no es apropiado para este problema.

Answer 2

Según tengo entendido, la pregunta se refiere al número de cumpleaños y no a personas distintas. En tal caso, seleccionamos por ejemplo 2 días distintos para 2 cumpleaños pero no necesitamos multiplicar por 2 (personas) porque los cumpleaños son idénticos (bolas del mismo color).

Si estoy en lo cierto la solución sería $\frac{\binom{281}{7}}{\binom{371}{7}}$