Geodésicas ortogonales a hypersurfaces

Question

Decir que tenemos un Riemannian múltiple $(M, g)$ con el vector campo $Y$, obedecer:

1. $g(Y, Y) = 1$; y
2. es de la #%-forma de $1$$\varphi(X) = g(X, Y)$% #%-% cerrado, $d$.

Sé que las curvas integrales de $d\varphi = 0$ son geodésicas, es decir, $Y$. ¿Sigue que las geodésicas son localmente ortogonales a una familia de hypersurfaces $D_Y Y = 0$?

Answer 1

La condición para el % de distribución ortogonal $Y^\perp$ser integrable es dada por el teorema de Frobenius. En este caso la formulación más conveniente es en cuanto a la forma de una $\varphi$:

$Y^\perp = \ker \varphi$ es tangente a una foliación por hypersurfaces si y sólo si $\varphi \wedge d \varphi = 0$.

Puesto que han asumido $d \varphi = 0$, tu respuesta es sí.