Transformación de la Variable aleatoria $Y = X^2$

Question

Estoy aprendiendo probabilidad, específicamente las transformaciones de variables aleatorias, y necesitan ayuda para entender la solución para el siguiente ejercicio:

Considere la variable aleatoria continua $X$ con función de densidad de probabilidad $$f(x) = \begin{cases} \frac{1}{3}x^2 \quad -1 \leq x \leq 2, \\ 0 \quad \quad \text{elsewhere}. \end{cases}$$ Find the cumulative distribution function of the random variable $Y = X^2$.

El autor da la siguiente solución:

Para $0 \leq y \leq 1: F_Y(y) = P(Y \leq y) = P(X^2 \leq y) \stackrel{?}{=} P(-\sqrt y \leq X \leq \sqrt y) = \int_{-\sqrt y}^{\sqrt y}\frac{1}{3}x^2\, dx = \frac{2}{9}y\sqrt y.$

Para $1 \leq y \leq 4: F_Y(y) = P(Y \leq y) = P(X^2 \leq y) \stackrel{?}{=} P(-1 \leq X \leq \sqrt y) = \int_{-1}^{\sqrt y}\frac{1}{3}x^2\, dx = \frac{1}{9} + \frac{1}{9}y\sqrt y.$

Para $y > 4: F_{Y}(y) = 1.$

---

Anterior a este ejercicio, he conseguido seguir las soluciones de dos similares (obviamente más sencillo) problemas estrictamente creciente y estrictamente decreciente en función de $X$, respectivamente. Sin embargo, en este problema, no entiendo los cálculos a realizar, específicamente:

• ¿Cómo los tres intervalos de $0 \leq y \leq 1$, $1 \leq y \leq 4$ y $y > 4$ se determina? En los dos problemas anteriores que he encontrado, sólo se considera uno de los intervalos que era idéntica a la de intervalo en que se $f(x)$ fue distinto de cero.
• En el caso de que $0 \leq y \leq 1$, ¿por qué no $P(X^2 \leq y) = P(-\sqrt y \leq X \leq \sqrt y)$ e no $P(X \leq \sqrt y)$? He puesto los signos de interrogación encima de las igualdades que no entiendo.

Creo que no he de entender la teoría lo suficientemente bien. Estoy en busca de una respuesta que me haga entender que la solución a este problema y, posiblemente, la teoría más clara.

Answer 1

Comencemos por ver cuál es la función de densidad de $f_X$ $X$ nos dice acerca de la función de distribución acumulativa $F_X$$X$. Desde $f_X(x) = 0$$-\infty < x < -1$, vemos que $$F_X(x) = \int_{-\infty}^x f_X(t) \, dt \equiv 0 $$ en este rango. Del mismo modo, desde la $f_X(x) = 0$ en el rango $2 < x < \infty$, vemos que $$F_X(x) = \int_{-\infty}^x f_X(t) \, dt = \int_{-\infty}^{\infty} f_X(t) \, dt \equiv 1$$ en este rango. En otras palabras, la variable aleatoria que se apoyó en el intervalo de $[-1,2]$" en el sentido de que $P(X \notin [-1,2]) = 0$.

Ahora, consideremos $Y = X^2$. Esta variable es claramente no-negativa y desde $X$ es compatible en $[-1,2]$, debemos tener la $Y$ es compatible en $[0, \max((-1)^2,2^2)] = [0,4]$. Esto es intuitivamente clara debido a que la variable $X$ (con una probabilidad de $1$) toma valores en [-1,2] y por lo $X^2$ toma valores en $[0,\max((-1)^2,(2)^2)]$. Tan sólo tenemos que entender $F_Y(y)$ en el rango $y \in [0,4]$. Ahora, siempre tenemos

$$ F_Y(y) = P(Y < y) = P(X^2 < y) = P(-\sqrt{y} < X < \sqrt{y}) = \int_{-\sqrt{y}}^{\sqrt{y}} f_X(t) \, dt $$

pero desde $f_X$ es definida por tramos, para proceder en este punto es necesario analizar varios casos. Ya sabemos que $F_Y(y) = 0$ si $y \leq 0$ $F_Y(y) = 1$ si $y \geq 4$.

Si $0 \leq y \leq 1$ $[-\sqrt{y},\sqrt{y}]$ está contenido en $[-1,1]$ y en $[-1,1]$ la función de densidad es$f_X(x) = \frac{1}{3}x^2$, de modo que podemos escribir

$$ F_Y(y) = \int_{-\sqrt{y}}^{\sqrt{y}} \frac{1}{3} t^2 \, dt. $$

Sin embargo, si $1 < y \leq 4$$-\sqrt{y} < -1$, por lo que el intervalo de integración se divide en $[-\sqrt{y}, -1] \cup [-1,\sqrt{y}]$. Sobre la izquierda $[-\sqrt{y},-1]$ parte, la función de densidad es cero, por lo que el integal será cero y nos quedamos sólo con el cálculo de la integral sobre la parte derecha:

$$ F_Y(y) = \int_{-\sqrt{y}}^{-1} f_X(t) \, dt + \int_{-1}^{\sqrt{y}} f_X(t) \, dt = \int_{-1}^{\sqrt{y}} \frac{1}{3}t^2 \, dt. $$

Answer 2

Si el cuadrado de un número es entre el$0$$1$, entonces el número en sí tiene que ser entre el$-1$$1$. Como, las plazas de las $-0.5$ $0.5$ ambos $0.25$. Sin embargo, ningún número real se producir negativo plazas. Esto es independiente de la naturaleza del número, que puede ser fijo o al azar. Así,

$$P(X^2<y)= \begin{cases} 0&\text{ if }& \ y<0\\ P(-\sqrt y < X <\sqrt y)&\text{ if }& 0\leq y<1 \end{casos}.$$

Si $y\geq 1$, entonces el cuadrado de cada número entre el $-1$ $\sqrt y$ menos de $ y$. Así

$$P(X^2<y)=P(-1<X<\sqrt y).$$ Si, sin embargo, $y\geq 4$, entonces el cuadrado de cualquier número entre el $-1$ $2$ menos de $y$, que es

$$P(X^2<y)=1$$ si $y\geq 4$ porque todos nuestros números aleatorios están a menos de dos; sus plazas están a menos de $4$.

Esta es la razón por la

$$P(X^2<y)= \begin{cases} 0&\text{ if }& \ y<0\\ P(-\sqrt y < X <\sqrt y)&\text{ if }& 0\leq y<1\\ P(-1 < X <\sqrt y)&\text{ if }& 1\leq y<4\\ 1&\text{ if }&y\geq 4. \end{casos}$$

El resto está dado por la integración de los pdf en los respectivos dominios.