La ley de Newton de la gravitación es:
$$F = G m_1 m_2 \frac{1}{r^2}$$
Parece simple y natural.
Pero eso es sólo en 3 dimensiones. Echemos un vistazo a lo que sucede en $n$ dimensiones:
$$n=2 : F = 2 G m_1 m_2 \frac{1}{r}$$ $$n=4 : F = \frac{2}{\pi} G m_1 m_2 \frac{1}{r^3}$$ $$n=5 : F = \frac{3}{2 \pi^2} G m_1 m_2 \frac{1}{r^4}$$ $$n=6 : F = \frac{4}{\pi^2} G m_1 m_2 \frac{1}{r^5}$$
Oh no! Newton es la fuerza de la ley se vuelve desordenado con poco intuitivo constantes! Pero por definir $G^* = 4 \pi G$ la ley de Newton de la gravitación puede ser reformulada como:
$$F = G^* m_1 m_2 \frac{1}{4 \pi r^2}$$
Inmediatamente reconocemos que $4 \pi r^2$ es simplemente el área de la superficie de una esfera de radio $r$.
Pero eso es sólo en 3 dimensiones. Echemos un vistazo a lo que sucede en $n$ dimensiones:
$$n=2 : F = G^* m_1 m_2 \frac{1}{2 \pi r}$$ $$n=4 : F = G^* m_1 m_2 \frac{1}{2 \pi^2 r^3}$$ $$n=5 : F = G^* m_1 m_2 \frac{1}{\frac{8}{3} \pi^2 r^4}$$ $$n=6 : F = G^* m_1 m_2 \frac{1}{\pi^3 r^5}$$
$2 \pi r$ es el área de superficie de un 2 tridimensional de la esfera de radio $r$.
$2 \pi^2 r^3$ es el área de superficie de una de las 4 dimensiones de la esfera de radio $r$.
$\frac{8}{3} \pi^2 r^4$ es el área de superficie de una de las 5 dimensiones de la esfera de radio $r$.
$\pi^3 r^5$ es el área de superficie de una de las 6 dimensiones de la esfera de radio $r$.
La ley de Newton de la gravitación en $n$ dimensiones es:
$$F = G^* m_1 m_2 \frac{1}{S_n}$$
Donde $S_n$ es simplemente el área de la superficie de una $n$ tridimensional de la esfera de radio $r$. A partir de esto, es que parece como $G^*$ sería una mejor definición de la constante gravitacional.
