Mostrar que $A=B$, siempre que el $A^2=B^2$ (y se cumplen otras condiciones)

Question

Estoy tratando de hacer esta pregunta a partir de un viejo pasado de papel, no hay respuestas a mirar y porque es de un año anterior, no estoy del todo seguro de que incluso he cubierto el material; aquí está:

Deje $A,B\in M_n(\mathbb R)$ ser tal que $A^2 = B^2,\, AB = BA$$\det(A + B) \ne 0$. Mostrar que $A = B$.

He estado jugando un rato con él para las edades, pero no puede conseguir cualquier cosa, desde el determinante de la parte supongo que tengo que involucrar a la existente inversa de a $A+B$ pero yo nunca lo he hecho antes y de mirar para arriba parece un poco más allá de lo que debería estar haciendo. Alguna idea?

Answer 1

Sugerencia: ampliar y simplificar $(A-B)(A+B) = A^2 + AB - BA - B^2 = \cdots$

Si usted puede mostrar que $(A-B)(A+B) = 0$, pueden multiplicar ambos lados por $(A+B)^{-1}$. (Existe el inverso del $A+B$ desde $\det(A+B) \neq 0$.)

Answer 2

Aquí está una prueba directa:\begin{align*} A&=(A+B)^{-1}(A+B)A\\ &=(A+B)^{-1}(A^2+BA)\\ &=(A+B)^{-1}(B^2+AB)\\ &=(A+B)^{-1}(A+B)B=B \end{align*}

Answer 3

Cuando $n=1$, esto es inmediato desde $A$ y $B$ no son más que números verdaderos: $$ 0=A^2-B^2=(A+B)(A-B) \tag {1} $ y $\det(A+B)\neq 0$ $A+B\neq 0$ que permite Cancelar el plazo de $A+B$ significa.

$n>1$, (1) es cierto en general ya que las matrices no necesariamente trasladarse. Pero en este particular problema, $AB=BA$.